[論文レビュー] Rapidly Convergent Summation Formulas involving Stirling Series

Raphael Schumacher|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、発散するオイラー＝マクローリン漸近展開を、第一種スターリング数を用いて迅速収束する級数に変換する、新しい級数加速技法を提案する。この手法により、解析関数の有限和に対して、非常に効率的で計算的に優れた公式が得られ、多くの新規公式が導出される。適用可能な和には平方根、調和級数、対数関数、ゼータ関数、交代級数が含まれ、数値評価においては、計算速度が桁違いに向上することが実証された。

ABSTRACT

This paper presents a family of rapidly convergent summation formulas for various finite sums of analytic functions. These summation formulas are obtained by applying a series acceleration transformation involving Stirling numbers of the first kind to the asymptotic, but divergent, expressions for the corresponding sums coming from the Euler-Maclaurin summation formula. While it is well-known that the expressions obtained from the Euler-Maclaurin summation formula diverge, our summation formulas are all very rapidly convergent and thus computationally efficient.

研究の動機と目的

• 標準のオイラー＝マクローリン漸近展開が発散する問題を克服し、解析関数の有限和に対して迅速収束する級数展開を構築すること。
• 逆べき級数とスターリング級数を結ぶウェニガー変換を、第一種スターリング数を介して適用し、収束を加速すること。
• √k、1/k²、log k、および交代級数など、∑ₖ₌₀ⁿ√k、∑ₖ₌₁ⁿ1/k²、∑ₖ₌₁ⁿlog k などの和に対して、多くの新規公式を導出し、計算的に効率的な式を得ること。
• 特に特殊関数（例：ディガンマ関数）の高精度評価において、従来手法に比べ顕著な計算的利点を示すこと。

提案手法

• 有限和の漸近展開を生成するためにオイラー＝マクローリン和公式を用い、これは本質的に発散するが漸近的に正確である。
• ウェニガー変換を適用し、ベルヌーイ数と第一種スターリング数を含む係数を介して、これらの発散する逆べき級数を収束するスターリング級数（逆階乗級数）に変換する。
• Pochhammer記号（上昇階乗）を用いて、得られた級数の分母を構造化し、階乗の減衰を保証することで、急速な収束を実現する。
• 第一種スターリング数 Sₖ⁽¹⁾(l) とベルヌーイ数 Bₗ₊₁ に対するネストされた和として係数を表現することで、明示的な公式を導出し、体系的な計算を可能にする。
• 既知の公式（例：スターリングの公式、フォンターナの公式、グレゴリーの公式）と比較することで結果を検証し、以前に未知であった展開が新規貢献であることを同定する。
• ベンチマークを通じて実用的価値を示し、本手法では ψ(10¹⁰) の400桁精度評価を3秒未満で実行可能であるのに対し、Mathematica 10 では10分以上を要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限和の発散的オイラー＝マクローリン展開を、スターリング級数を用いて体系的に迅速収束級数に変換できるか？
• RQ2 第一種スターリング数とウェニガー変換は、漸近級数の収束を加速するために果たす役割は何か？
• RQ3 導出された和公式のうち、何個が新規であり、従来手法に比べて計算的利点は何か？
• RQ4 この手法は、対数関数、逆べき関数、交代級数を含む広範な解析関数のクラスに一般化可能か？
• RQ5 この技術は、ディガンマ関数のような高精度特殊関数評価の効率をどの程度向上できるか？

主な発見

• ∑ₖ₌₀ⁿ√k に対しては、収束が著しく速い2種類の異なる公式が導出された。一方の公式では √n、もう一方では 1/√n が主要項として現れ、いずれも漸近展開よりも著しく速く収束する。
• ∑ₖ₌₁ⁿ1/k² に対しては、1730年に発表された既知のスターリング型公式が再現され、本手法の歴史的結果との整合性が確認された。
• ∑ₖ₌₁ⁿlog k に対しては、スターリングの公式と一致するが、ベルヌーイ数とスターリング数を含む収束するスターリング級数として表現された新規公式が導出された。
• 交代調和級数 ∑ₖ₌₁ⁿ(−1)ᵏ⁺¹/k に対しては、ベルヌーイ数と符号付きスターリング数から導かれる係数を持つ新規収束公式が得られた。
• 本手法により、ψ(10¹⁰) を400桁精度で評価するのに3秒未満で可能となり、Mathematica 10 のネイティブ実装に比べ10倍の高速化が達成された。
• 16個の和公式のうち13個が新規であり、残り3個のみが既存のものであるため、本手法の新規性と広範な適用可能性が示された。