[論文レビュー] Rate distortion theory, metric mean dimension and measure theoretic entropy

Aníbal Velozo, Renato Velozo|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、測度論的エントロピーに類似した関数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を用いて、度合いの平均次元の変分原理を確立する。これはレート・ディストーション関数の代わりに、より直感的な代替手段を提供する。主な結果として、$ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ が得られ、標準的な変分原理が回復され、[LT]の結果が計算の明確さを高めた形で再証明される。

ABSTRACT

We prove a variational principle for the metric mean dimension analog to the one in [LT]. Instead of using the rate distortion function we use the function $h_μ(ε,T,δ)$ that is closely related to the entropy $h_μ(T)$ of $μ$. Our formulation has the advantage of being, in the authors opinion, more natural when doing computations. As a corollary we obtain a proof of the standard variational principle. We also obtain some relations between the rate distortion function with our function $ ilde{h}_μ(ε,T,δ)$, a modification of $h_μ(ε,T,δ)$ when replacing the dynamical metrics with the average dynamical metrics. Using our methods we also reprove the main result in [LT]. We will explain how to construct homeomorphisms on closed manifolds with maximal metric mean dimension. We end this paper with some questions that naturally arise from this work.

研究の動機と目的

• 度合いの平均次元の変分原理を、より計算的に直感的な形式で構築すること。
• レート・ディストーション関数の代わりに、カトックのエントロピー公式から導かれる関数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を用いること。
• この新しい枠組みを用いて、[LT]の主要結果を再証明すること。
• 閉多様体上のホメオモルフィズムが最大の度合いの平均次元を達成するための条件を確立すること。
• 関数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $、レート・ディストーション関数 $ R_{\mu}(\epsilon) $、およびその平均的ダイナミカルボール版との関係を調査すること。

提案手法

• 関数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) = \limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $ を定義する。ここで $ N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $ は、測度が $ >1-\delta $ であるような集合をカバーする $ (n,\epsilon) $-ダイナミカルボールの最小個数である。
• エルゴディックな $ \mu $ に対して、漸近的同値性 $ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を用いて、$ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を測度論的エントロピーと結びつける。
• 変分原理 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ を証明する。これは標準的な変分原理を一般化する。
• 平均的ダイナミカルボールを用いた変種 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を導入し、これによりレート・ディストーション関数 $ R_{\mu}(\epsilon) $ と関連付ける。
• 閉多様体上で摂動技法を用いて、上側度合いの平均次元が任意に大きなホメオモルフィズムを構成する。
• クロージング補題と局所的摂動を適用し、固定点を持つホメオモルフィズムの空間において、全度合いの平均次元を持つホメオモルフィズムの集合が稠密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度合いの平均次元の変分原理は、レート・ディストーション関数の代わりに $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ を用いて定式化可能か？
• RQ2 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ とレート・ディストーション関数 $ R_{\mu}(\epsilon) $、およびその平均的ダイナミカルボール版 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ の関係は何か？
• RQ3 閉多様体上のホメオモルフィズムが最大の度合いの平均次元を達成するための条件は何か？
• RQ4 測度論的成分として $ \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ を用いた場合、変分原理は成立するか？
• RQ5 最大の度合いの平均次元を達成する測度 $ \mu $ が存在するか、すなわち $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) $ が成り立つか？

主な発見

• 度合いの平均次元の変分原理が $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ として確立され、より直感的な計算フレームワークが提供される。
• 主結果の系として、トポロジカルエントロピーの標準的変分原理が回復される。
• $ ([0,1]^n)^{\mathbb{Z}} $ 上のシフトで、積度 $ d_T $ を用いた場合、度合いの平均次元は正確に $ n $ に等しいことが計算される。
• エルゴディック測度 $ \mu $ に対して、$ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} R_{\mu}(\epsilon) = \widetilde{h}_{\mu}(T,\delta) $ が成り立つことが示され、新しい関数がレート・ディストーション関数と結びつけられる。
• 閉多様体上のホメオモルフィズムのうち、全度合いの平均次元 $ \dim(\mathcal{X}) $ を達成するものの集合は、固定点を持つホメオモルフィズムの空間において稠密である。
• 異なる互換性のある度合いのもとで $ Y^{\mathbb{Z}} $ 上で異なる値を取ることから、度合いの平均次元は度合いの選択に依存することが示された。