[論文レビュー] Rate-Induced Tipping in Heterogeneous Reaction-Diffusion Systems: An Invariant Manifold Framework and Geographically Shifting Ecosystems

Cris R. Hasan, Ruaidhrí Mac Cárthaigh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非自己同型で不均一な反応拡散系におけるレート誘発トゥーリング（R-トゥーリング）および分岐誘発トゥーリング（B-トゥーリング）を分析するため、コンパクト化された移動座標系の常微分方程式とリンの方法を用いた不変多様体フレームワークを開発する。地理的に移動する生態系におけるアリー効果を伴う場合の絶滅のための臨界的生息地サイズと移動速度の閾値を同定し、均一な生息地における侵入速度と生存を結びつける。

ABSTRACT

We propose a framework to study tipping points in reaction-diffusion equations (RDEs) in one spatial dimension, where the reaction term decays in space (asymptotically homogeneous) and varies linearly with time (nonautonomous) due to an external input. A compactification of the moving-frame coordinate together with Lin's method to construct heteroclinic orbits along intersections of stable and unstable invariant manifolds allows us to (i) obtain multiple coexisting pulse and front solutions for the RDE by computing heteroclinic orbits connecting equilibria at negative and positive infinity in the compactified moving-frame ordinary differential equation, (ii) detect tipping points as dangerous bifurcations of such heteroclinic orbits, and (iii) obtain tipping diagrams by numerical continuation of such bifurcations. We apply our framework to an illustrative model of a habitat patch that features an Allee effect in population growth and is geographically shrinking or shifting due to human activity or climate change. Thus, we identify two classes of tipping points to extinction: bifurcation-induced tipping (B-tipping) when the shrinking habitat falls below some critical length and rate-induced tipping (R-tipping) when the shifting habitat exceeds some critical speed. We explore two-parameter R-tipping diagrams to understand how the critical speed depends on the size of the habitat patch and the dispersal rate of the population, uncover parameter regions where the shifting population survives, and relate these regions to the invasion speed in an infinite homogeneous habitat. Furthermore, we contrast the tipping instabilities with gradual transitions to extinction found for logistic population growth without the Allee effect.

研究の動機と目的

• 非自己同型で空間的に拡張された系に適用可能な、不連続で崩壊する反応項を有する系におけるトゥーリング点の検出のための数学的フレームワークの構築。
• 生息地の縮小によって引き起こされる分岐誘発トゥーリング（B-トゥーリング）と、生息地の移動速度によって引き起こされるレート誘発トゥーリング（R-トゥーリング）を区別すること。
• 気候変動や人為的要因による生息地の移動が生じる状況下で、アリー効果を有する個体群モデルにこのフレームワークを適用すること。
• 均一な生息地における侵入速度と関連付けることで、生存のための臨界的トゥーリング閾値を特定すること。
• 生息地サイズと拡散率の両方のパラメータを用いた二重パラメータR-トゥーリング図の構築により、個体群の持続可能性に相当する領域を明らかにすること。

提案手法

• 非自己同型反応拡散方程式（RDE）を座標変換により移動座標系の常微分方程式に変換し、二重漸近的自己同型系を導出する。
• 移動座標系の常微分方程式にコンパクト化を適用することで、コンパクト化された位相空間上での自己同型系に変換し、ヘテロクロイニック軌道の解析を可能にする。
• リンの方法を用いて、コンパクト化系における±∞におけるサドル平衡点を結ぶヘテロクロイニック軌道を数値的に構築し、パルス解およびフロント解を表す。
• これらのヘテロクロイニック軌道の分岐としてトゥーリング点を検出することで、系の挙動における臨界的遷移を特定する。
• 分岐の数値継続を実行し、生息地サイズと拡散率のパラメータ空間における二重パラメータR-トゥーリング図を生成し、生存領域を可視化する。
• 結果を均一な生息地における侵入速度理論と比較し、持続可能な個体群移動の上界を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アリー効果を伴う地理的に移動または縮小する生息地における個体群絶滅のための臨界的閾値は何か？
• RQ2 生息地サイズの減少によって引き起こされるB-トゥーリングと、生息地移動速度によって引き起こされるR-トゥーリングは、そのメカニズムと臨界値においてどのように異なるか？
• RQ3 R-トゥーリングの臨界速度と均一な生息地における侵入速度の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 拡散率と生息地サイズは、地理的に移動する生態系における生存または絶滅をどのように決定づけるか？
• RQ5 どのパラメータ領域において、生息地の移動に対しても個体群が持続可能となるか？また、これらの領域はヘテロクロイニック軌道の安定性とどのように関係するか？

主な発見

• B-トゥーリングは、生息地長さが臨界閾値未満に低下した場合に発生し、安定な平衡点の喪失によって引き起こされ、移動速度に依存しない。
• R-トゥーリングは、生息地移動速度が臨界値を超えた場合に発生し、系が静止系において安定であっても、移動する基準状態を追跡できなくなることで生じる。
• R-トゥーリングの臨界速度は、均一な生息地における侵入速度 $ c_{\text{inv}} = 2\beta\beta D $ によって上界で制限され、移動速度がこの閾値未満である場合にのみ持続が可能となる。
• 二重パラメータR-トゥーリング図により、生息地サイズと拡散率のパラメータ空間に明確な生存領域が明らかとなり、移動速度が侵入速度未満である場合にのみ持続が可能となる。
• アリー・モデルでは、絶滅とキャリブレーティング容量の平衡点を結ぶヘテロクロイニック軌道は、臨界侵入速度 $ c = c_{\text{inv}} $ のみで存在し、持続可能なパルス伝播の上界を示す。
• アリー効果なしのロジスティック成長とは異なり、アリー・モデルではサドルノード分岐と個体群持続の閾値が存在するため、急激なトゥーリングが発生し、段階的減少ではなくレジームシフトが生じる。