[論文レビュー] Rate of convergence in first-passage percolation under low moments

Michael Damron, Naoki Kubota|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、辺重みに低次のモーメント条件が成り立つ場合の$d$次元格子上の第一通過時間確率論に対して、改善された収束速度の上限を確立する。ガウス濃縮不等式とアレクサンダーの部分加法的近似法を組み合わせることで、$\mathbb{E}T(0,x) - \mu(x) \leq C(\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$ および限界形状の収束速度が $O(t^{-1/2}("log

ABSTRACT

We consider first-passage percolation on the $d$ dimensional cubic lattice for $d \geq 2$; that is, we assign independently to each edge $e$ a nonnegative random weight $t_e$ with a common distribution and consider the induced random graph distance (the passage time), $T(x,y)$. It is known that for each $x \in \mathbb{Z}^d$, $μ(x) = \lim_n T(0,nx)/n$ exists and that $0 \leq \mathbb{E}T(0,x) - μ(x) \leq C\|x\|_1^{1/2}\log \|x\|_1$ under the condition $\mathbb{E}e^{αt_e}0$. By combining tools from concentration of measure with Alexander's methods, we show how such bounds can be extended to $t_e$'s with distributions that have only low moments. For such edge-weights, we obtain an improved bound $C (\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$ and bounds on the rate of convergence to the limit shape.

研究の動機と目的

• 辺重みの最小のモーメント条件を特定し、第一通過時間確率論における部分線形の偏差 $\mathbb{E}T(0,x) - \mu(x) = o(\|x\|_1)$ を保証すること。
• 古典的な指数モーメント仮定を越えて、限界形状の収束速度に関する結果を拡張すること。
• アレクサンダーの1997年の境界を改善し、弱いモーメント条件の下で収束速度の $\log t$ を $\sqrt{\log t}$ に置き換えること。
• 低次のモーメント仮定の下で、有限時間の球 $B(t)/t$ が限界形状 $B_0$ に収束する際の外側および内側の境界を確立すること。

提案手法

• 仮定 (A1) および (A2) の下で、$\tau(0,x)$ の通過時間に対するガウス濃縮不等式を導出し、先行研究で用いられた指数濃縮に代える。
• アレクサンダーの部分加法的関数の近似法を適用し、濃縮不等式を用いて $\mathbb{E}\tau(0,x) - \mu(x)$ の差を評価する。
• 濃縮不等式を用いて、通過時間の尾確率および形状定理における最短路のゆらぎを制御する。
• 球の境界にある $v$ に対して $\tau(0,v) > t$ となる確率を分析することで、$B(t)/t$ から $B_0$ への収束速度の外側境界を確立する。
• 短いパスの $\tau(0,w)$ の尾挙動を制御するため、$2d$ 個の i.i.d. 辺重み $Z$ の最小値に関する部分加法性とモーメントバウンドを用いる。
• 2つのモーメントの下でタルガランドの下側尾濃縮不等式を活用し、確率的収束の証明における尾の推定値を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺重みが有限の2次のモーメントしか持たない場合、$\mathbb{E}\tau(0,x)$ が時間定数 $\mu(x)$ に収束する最適な速度は何か？
• RQ2 指数モーメントが仮定されない場合、第一通過時間確率論における限界形状の収束速度を改善できるか？
• RQ3 $B(t)/t$ から $B_0$ への収束速度は、辺重み分布のモーメント構造にどのように依存するか？
• RQ4 弱いモーメント仮定の下で、アレクサンダーの収束速度における $\log t$ 要素を $\sqrt{\log t}$ に置き換えられるか？
• RQ5 辺重み分布にどのようなモーメント条件を課せば、$\mathbb{E}\tau(0,x) - \mu(x) = O((\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2})$ が成り立つか？

主な発見

• 仮定 (A1) および (A2) の下で、期待通過時間は $\mathbb{E}\tau(0,x) \leq \mu(x) + C_1(\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$ を満たし、アレクサンダーの $\log t$ に依存する境界を改善する。
• 確率1で、十分大きな $t$ に対して $B(t)/t \subset \{1 + C_2 t^{-1/2}(\log t)^{1/2}\} B_0$ が成り立つ。これは外側収束速度の改善を示している。
• $\mathbb{E}t_e^{\alpha} < \infty$ が $\alpha > 1 + 1/d$ の下で成り立つと、十分大きな $t$ に対して $\{1 - C_3 t^{-1/2}(\log t)^4\} B_0 \subset B(t)/t$ が成り立つ。これは濃縮がきわめてきついことを示している。
• 証明は、低次のモーメントの下で指数濃縮よりもタイトな制御を可能にする、$\tau(0,x)$ に対する新しいガウス濃縮不等式に依存している。
• 著者らは、$Z$ を $2d$ 個の i.i.d. 辺重みの最小値とするとき、$\mathbb{E}Z^{2d+2+\delta} < \infty$ が $\delta > 0$ に対して成り立つことが、収束結果を保証するのに十分であることを示している。
• 指数モーメントがなくても、外側境界の収束速度は $O(t^{-1/2}\log t)$ から $O(t^{-1/2}(\log t)^{1/2})$ に改善されている。