[論文レビュー] Rate of Convergence of the Empirical Spectral Distribution Function to the Semi-Circular Law

Friedrich Götze, А. Н. Тихомиров|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モーメント条件およびエントリサイズ条件の下で、ワイラー行列の経験的固有値分布関数（ESDF）が半円法則に収束するレートを確立する。ステルツェス変換とリゾルベントの再帰的確率的解析を用いて、ESDFと半円法則の間のコルモゴロフ距離が高確率で $ O(n^{-1} \log^5 n) $ であることを証明し、ワイラー行列の高確率収束レートに関する先行研究の境界を改善する。

ABSTRACT

Let $\mathbf X=(X_{jk})_{j,k=1}^n$ denote a Hermitian random matrix with entries $X_{jk}$, which are independent for $1\le j\le k\le n$. We consider the rate of convergence of the empirical spectral distribution function of the matrix $\mathbf W=\frac1{\sqrt n}\mathbf X$ to the semi-circular law assuming that $\mathbf E X_{jk}=0$, $\mathbf E X_{jk}^2=1$ and uniformly bounded eight moments. By means of a recursion argument it is shown that the Kolmogorov distance between the empirical spectral distribution of the Wigner matrix $\mathbf W$ and the semi--circular law is of order $O(n^{-1}\log^{5}n)$ with high probability.

研究の動機と目的

• ワイラー行列の経験的固有値分布関数（ESDF）と半円法則の間のコルモゴロフ距離に対する鋭い高確率的境界を確立すること。
• 高次のモーメント条件とエントリサイズ制約を組み込むことにより、以前の非漸近的境界を精緻化すること。
• $ p \leq C \log n $ の $ L_p $-ノルムに対するコルモゴロフ距離の境界を一様に与え、期待値を超える確率的制御を実現すること。
• ESDFが半円法則から逸脱する偏差に対する指数的尾部境界を導出し、端付近を除き固有値の局在化を保証すること。

提案手法

• ESDFのステルツェス変換 $ m_n(z) $ と半円法則のステルツェス変換 $ s(z) $ の再帰的確率的解析を用いる。
• リゾルベント行列 $ \mathbf{R} = (\mathbf{W} - z\mathbf{I})^{-1} $ を用い、誤差を四つの項 $ \varepsilon_{j\nu} $ に分解し、各項をモーメントバウンドと条件付き期待値を用いて解析する。
• シュール補行列式を用いて $ \mathrm{Tr}\,\mathbf{R} $ と $ \mathrm{Tr}\,\mathbf{R}^{(j)} $ の関係を確立し、トレースと誤差項の再帰的制御を可能にする。
• コーシー＝シュワルツとモーメント不等式を用いて、$ \mathbb{E}|\Lambda_n|^2 $ をバウンドし、ここで $ \Lambda_n $ は $ m_n(z) $ と $ s(z) $ の逸脱を測る。
• スペクトル領域 $ \mathbb{G} $ を $ v \geq v_0 / \sqrt{\gamma(z)} $ で定義し、$ v_0 = A_0 n^{-1} \log^4 n $ とする。これにより、正則化されたバルク領域およびバルクに類似した領域に制限して解析を行う。
• チェビシェフの不等式と尾部バウンドを適用し、モーメント推定値を高確率の偏差結果に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイラー行列の経験的固有値分布関数が半円法則に収束する最適な高確率的収束レートは何か？
• RQ2 高次のモーメントとエントリサイズ制約は、固有値分布の収束レートにどのように影響するか？
• RQ3 $ p \leq C \log n $ の範囲で、コルモゴロフ距離の $ L_p $-ノルムを一様にバウンドできるか？ これは尾部挙動にどのような意味を持つのか？
• RQ4 固有値は、端効果を除き、それらの古典的位置の周囲でどの程度局在化するか？

主な発見

• 第四モーメントおよびエントリサイズ条件の下で、$ p \leq C' \log n $ の範囲で $ \mathbb{E}^{1/p}(\Delta_n^*)^p \leq C n^{-1} \log^4 n $ が成り立つ。
• 第八モーメント条件のもとでも、同じバウンドが成り立つため、高次モーメントに対して頑健であることが示された。
• 高確率で、$ \Pr\{ \Delta_n^* \geq C n^{-1} \log^5 n \} \leq n^{-c \log \log n} $ が成り立ち、大きな逸脱の急速な減少を示している。
• 固有値は、端付近を除き、$ O(\log^5 n \cdot \min\{j, n-j+1\}^{-1/3} n^{-2/3}) $ の範囲内でその古典的位置に局在化している。
• 領域 $ \mathbb{G} $ において一様に、ステルツェス変換の誤差について $ \mathbb{E}|m_n(z) - s(z)|^p \leq (Cp)^p (nv)^{-p} $ が成り立つ。ここで $ p \leq A_1 (nv)^{1/4} $ である。
• 解析により、コルモゴロフ距離に対する鋭い $ O(n^{-1} \log^5 n) $ の収束レートが確立され、既存の文献における非漸近的境界を改善した。