[論文レビュー] Rate of convergence to equilibrium of fractional driven stochastic differential equations with rough multiplicative noise

Aurélien Deya, Fabien Panloup+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2) $ および乗法的ノイズを有する rough fractional Brownian motion によって駆動される分数確率微分方程式の平衡への収束速度を確立する。rough path理論とリャプノフ関数技術を用いて、収束速度が $ t^{-\alpha} $ のオーダーであることを証明し、ノイズ係数 $ \sigma $ に対する勾配仮定を排除することで、先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the problem of the rate of convergence to equilibrium for ergodic stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\\in (1/3,1)$ and multiplicative noise component $\\sigma$. When $\\sigma$ is constant and for every $H\\in (0,1)$, it was proved in [19] that, under some mean-reverting assumptions, such a process converges to its equilibrium at a rate of order $t^{-\\alpha}$ where $\\alpha \\in (0,1)$ (depending on $H$). In [11], this result has been extended to the multiplicative case when $H\ extgreater{}1/2$. In this paper, we obtain these types of results in the rough setting $H\\in (1/3,1/2)$. Once again, we retrieve the rate orders of the additive setting. Our methods also extend the multiplicative results of [11] by deleting the gradient assumption on the noise coefficient $\\sigma$. The main theorems include some existence and uniqueness results for the invariant distribution.

研究の動機と目的

• ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2) $ および乗法的ノイズを有する分数 Browmian motion によって駆動される確率微分方程式の平衡への収束速度を特定すること。
• $ H > 1/2 $ の領域を超えて、乗法的ノイズ設定における収束速度に関する先行結果を拡張すること。
• 以前の研究で必要とされていたノイズ係数 $ \sigma $ に対する勾配仮定を排除すること。
• 平均再帰的ドリフト条件の下で、SDEの不変分布の存在および一意性を確立すること。
• rough case である $ H \in (1/3, 1/2) $ における収束速度が、加法的ケースで観察されたオーダーと一致することを示すこと。

提案手法

• ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2) $ の場合、Young積分では不十分であるため、rough path理論を用いて分数 Browmian motion に関する積分を扱う。
• コン pact 集へのプロセスの帰還時間を制御するため、リャプノフ関数技術を用いることで、エルゴディシティを保証する。
• ノイズの非退化性および平均再帰的ドリフト条件 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $ に基づくカップリング論法を適用する。
• 時間区間における再帰的分割アルゴリズムを用いて、rough path 増分 $ G^{[s,t]}_{st} $ を推定し、反復積分の $ \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu} $-ノルムを活用する。
• 法則の全 Variation 距離に関する境界を、$ \mathcal{N}[\delta G; \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu}] $ のセミノルムを用いて確立する。
• ノイズ成分のパスワイズ変動に関する推定とモーメント境界を組み合わせることで、$ t^{-\alpha} $ の減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2) $ および乗法的ノイズを有するSDEの平衡への収束速度は何か？
• RQ2 rough path 範囲における収束速度が、加法的ケースで観察された $ t^{-\alpha} $ オーダーと一致することを示せるか？
• RQ3 ノイズ係数 $ \sigma $ に対する勾配仮定を排除しつつ、収束速度を確立することは可能か？
• RQ4 リャプノフ関数とrough path理論の組み合わせが、マルコフ構造が存在しない状況でもエルゴディシティおよび収束を保証する仕組みは何か？
• RQ5 ドリフト $ b $ およびノイズ $ \sigma $ にどのような条件を課せば、このrough SDEフレームワークにおける不変測度の存在および一意性が保証されるか？

主な発見

• ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2) $ の場合、平衡への収束速度は $ t^{-\alpha} $ のオーダーであり、加法的ケースで観察された速度と一致する。
• 収束速度は、ドリフト $ b $ に平均再帰的条件が成り立つ限り、$ \sigma $ の具体的な形に依存しない。
• 以前の研究で $ H > 1/2 $ の場合に必要とされていた $ \sigma $ に対する勾配仮定を排除することで、乗法的ノイズの結果を一般化した。
• 平均再帰的ドリフト条件 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $ の下で、不変分布の存在および一意性が確立された。
• 時間 $ t $ におけるプロセスの法則と不変測度との間の全 Variation 距離は、$ t^{-\alpha} $ に比例して減少し、$ \alpha \in (0,1) $ は $ H $ に依存する。
• 解析は、反復積分 $ G^{[s,t]}_{st} $ の変動を制御するための、rough path理論の新規な応用および再帰的分割アルゴリズムに依存している。