[論文レビュー] Rates in almost sure invariance principle for Young towers with exponential tails

Alexey Korepanov|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、指数的尾を持つ非一様な混合系において、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $o(n^{\varepsilon})$ のレートを有するほとんど確実な不変性原理を確立する。これは、非一様な混合系をリプシッツ連続かつ測度を保存する写像を持つマルコフ移行へと因子分解するという新しい手法を用いる。この結果は、従来の最良レートを著しく改善し、Axiom A微分同相写像、拡散ビリヤード、および特定のロジスティック写像やヘノン写像などに適用可能である。

ABSTRACT

We prove the almost sure invariance principle with rate $o(n^{\varepsilon})$ for every $\varepsilon > 0$ for Holder continuous observables on nonuniformly expanding and nonuniformly hyperbolic transformations with exponential tails. Examples include Gibbs-Markov maps with big images, Axiom A diffeomorphisms, dispersing billiards and a class of logistic and Henon maps. The best previously proved rate is $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$. As a part of our method, we show that nonuniformly expanding transformations are factors of Markov shifts with simple structure and natural metric (similar to the classical Young towers). The factor map is Lipschitz continuous and probability measure preserving. For this we do not require the exponential tails.

研究の動機と目的

• 非一様な混合系に指数的尾を持つ場合のほとんど確実な不変性原理の収束レートをより速くすること。
• 非一様に拡張する系が、構造が単純で自然な距離を持つマルコフ移行の因子として表現可能であることを示すこと。
• 指数的尾を仮定しない状況でも、リプシッツ連続かつ確率測度を保存する因子写像を構築すること。
• 不変性原理の適用範囲を、ギブス＝マークフ・写像、Axiom A微分同相写像、および拡散ビリヤードを含む広範な力学系のクラスへと拡張すること。

提案手法

• 非一様に拡張する系から、自然な距離と単純な構造を持つマルコフ移行への因子写像を構築する。
• 因子写像がリプシッツ連続であり、確率測度を保存することを証明し、確率的性質の移行を可能にする。
• マルコフ移行の構造を用いて、カップリング技法を用いてより良いレートのほとんど確実な不変性原理を導出する。
• マルコフ構造と指数的尾の減衰を活用して、ホルダー連続な観測量に対して $o(n^{\varepsilon})$ のレートを確立する。
• Axiom A微分同相写像、拡散ビリヤード、および指数的尾を持つロジスティック／ヘノン写像などの系にこの枠組みを適用する。
• 因子写像の構成には指数的尾を必要としないが、レートの改善には必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的尾を持つ系に対して、従来の境界 $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$ よりも速いほとんど確実な不変性原理のレートが達成可能か？
• RQ2 非一様に拡張する系が、リプシッツ連続かつ測度を保存する写像を持つマルコフ移行の因子として表現可能か？
• RQ3 マルコフ移行のどのような構造的性質が、より速い不変性原理のレートの導出を可能にするか？
• RQ4 指数的尾を仮定しない場合、因子写像の構成はどのように振る舞い、それらがレートの改善に果たす役割は何か？
• RQ5 本結果は、Axiom A微分同相写像や拡散ビリヤードといった特定の力学系クラスに、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $o(n^{\varepsilon})$ のほとんど確実な不変性原理のレートを達成し、従来の最良レート $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$ より著しく改善している。
• 指数的尾を持つ非一様に拡張する系が、自然な距離と単純な構造を持つマルコフ移行の因子として示された。
• 因子写像は明示的にリプシッツ連続かつ確率測度を保存するように構築されており、確率的推定の強固な移行を可能にする。
• この手法は、大きな像を持つギブス＝マークフ・写像、Axiom A微分同相写像、拡散ビリヤード、および特定のロジスティック写像やヘノン写像を含む広範な系に適用可能である。
• レートの改善は指数的尾の減衰に依存しており、これにより十分な混合性とモーメントの有界性が保証され、不変性原理が成立する。
• 因子写像の構成には指数的尾を必要としないが、レートの改善には必要であるため、構造的表現と確率的収束の間の分離が浮き彫りになる。