[論文レビュー] Rates of convergence for a class of generalized quasi contractive mappings in Kohlenbach hyperbolic spaces

Zahid Akhtar, Muhammad Aqeel Ahmad Khan|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Kohlenbach超曲面における一般化 quasi 収縮写像の収束速度を、Picard、Mann、Ishikawa、Xu-Noor反復アルゴリズムを用いて確立する。特定のパrameter条件の下で、Picard反復が修正されたMann型アルゴリズムよりも速く収束することを証明し、線形設定を超えた非正曲率を持つ距離空間への収束解析を拡張する。

ABSTRACT

This paper is a continuation to the study of generalized quasi contractive operators, essentially due to Akhtar et al. [A multi-step implicit iterative process for common fixed points of generalized C^{q}-operators in convex metric spaces, Sci. Int., 25(4) (2013), 887-891], in spaces of nonpositive sectional curvature. We aim to establish results concerning convergence characteristics of the classical iterative algorithms such as Picard, Mann, Ishikawa and Xu-Noor iterative algorithms associated with the proposed class of generalized quasi contractive operators. Moreover, we adopt the concept introduced by Berinde [Comparing Krasnosel'skii and Mann iterative methods for Lipschitzian generalized pseudo-contractions, Int. Conference on Fixed Point Theory Appl., 15-26, Yokohama Publ., Yokohama, 2004.] for a comparison of the corresponding rates of convergence of these iterative algorithms in such setting of spaces. The results presented in this paper improve and extend some recent corresponding results in the literature.

研究の動機と目的

• Kohlenbach超曲面における一般化 quasi 収縮写像のクラスに対して、古典的反復アルゴリズム（Picard、Mann、Ishikawa、Xu-Noor）の収束特性を分析すること。
• Berindeの比較フレームワークを用いて、これらの反復アルゴリズム間の収束速度を比較すること。
• 既存の収束結果を線形空間から、より一般的な非正曲率を持つ超曲面空間への設定に拡張すること。
• 一般化 quasi 収縮作用素の不動点への収束を保証するための制御パrameterの十分条件を確立すること。

提案手法

• 研究は、非線形解析に適した凸構造を持つ距離空間を一般化するKohlenbach超曲面を幾何的フレームワークとして採用する。
• 一般化 quasi 収縮写像を定義し、5つの距離項の最大値を含む収縮条件を満たすものとし、定数λ ∈ [0,1)を用いる。
• 収束解析は、凸写像Wと収縮性の性質から導かれる再帰的不等式を用い、反復点から不動点までの距離を評価する。
• 収束速度の比較は、積列aₙ = ∏[1 − αₖ(1−λ)²] と bₙ = ∏[1 − αₖ(1−3λ)(1 + 9λ²βₖγₖ + 3λβₖ)] の推定に依存し、aₙ/bₙ → 0 を示す。
• 収束と速度比較を可能にするために、列{αₙ}、{βₙ}、{γₙ}に制御条件(C1)と(C2)を課す。
• 三角不等式と凸性の性質を用いて理論的境界を導出し、d(xₙ₊₁, p)をd(xₙ, p)の再帰的推定に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kohlenbach超曲面における一般化 quasi 収縮写像に対して、Picard反復アルゴリズムは修正Mann型アルゴリズムよりも速く収束するか？
• RQ2 反復スキームが不動点に収束するための制御列{αₙ}、{βₙ}、{γₙ}の十分条件は何か？
• RQ3 この設定において、Mann、Ishikawa、Xu-Noorアルゴリズムの収束速度は、古典的Picard反復と比べてどうなるか？
• RQ4 非正曲率空間において、Berindeのフレームワークを用いて収束速度の比較を厳密に確立できるか？
• RQ5 線形空間における不動点収束に関する既存の結果を、Kohlenbach超曲面へどの程度一般化できるか？

主な発見

• Kohlenbach超曲面における一般化 quasi 収縮写像に対して、Picard反復アルゴリズムは修正Mann型アルゴリズムよりも速く収束する。
• λ ∈ [0, 1/3] の場合、Picardスキームの収束速度は ∏[1 − αₖ(1−λ)²] に従い減衰するが、Mann型スキームは定数1のままとなるため、より速い収束を示す。
• λ ∈ (1/3, 1) の場合、比aₙ/bₙ → 0 が成り立つため、Picard反復が依然として修正Mannスキームよりも速く収束することが示される。
• 制御条件(C1)と(C2)が満たされれば、すべての反復列が不動点に収束することが保証され、列{αₙ}、{βₙ}、{γₙ}が[0,1]にあり、和分可能であることが条件となる。
• 本研究の結果は、線形空間における既存の知見を、より広範な非正曲率を持つ超曲面空間へのクラスに一般化し、非線形問題への適用可能性を高める。
• 解析により、収束速度はパrameter λ と制御列の選択に強く依存することが確認され、λが小さい場合により緊密な境界が達成可能である。