[論文レビュー] Rates of convergence in first passage percolation with low moment conditions

Naoki Kubota|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、低次のモーメントおよび準臨界的重み条件の下で立方格子上の最初の通過時間確率過程の収束速度を確立し、最初の通過時間が多項式的レートで収束することを示している。さらに、極限形状に平坦な辺が存在する場合の通過時間の分散を分析するためにこの結果を応用している。

ABSTRACT

We consider the first passage percolation with i.i.d.\,weights on edges of a cubic lattice. Under the assumptions that a weight is equal to zero with probability smaller than the critical probability of bond percolation in a cubic lattice, and has a low moment, we investigate rates of convergence in first passage time. In addition, we give an application of our result to variance of the first passage percolation in the case where the limit shape has flat edges.

研究の動機と目的

• 重尾または低次のモーメントを持つ辺重みを有する立方格子上の最初の通過時間の収束速度を分析すること。
• 辺重みがゼロとなる確率が正であるが、臨界 percolation 以下である場合の最初の通過時間確率過程の挙動を調査すること。
• これらの低次のモーメント仮定の下で、最初の通過時間がその漸近的極限に収束するレートに対する定量的バインディングを導出すること。
• 収束速度の結果を、極限形状に平坦な辺が存在する場合の最初の通過時間の分散を理解するために応用すること。

提案手法

• 2未満の順序の有限モーメントを持つ i.i.d. 辺重みを有する d 次元立方格子上での最初の通過時間確率過程をモデル化する。
• ゼロ重みの確率が臨界結合 percolation 以下であると仮定することで、正の重みを持つ無限路の存在を保証する。
• モーメントバインディングおよびカップリング技術を用いて、大規模な距離における通過時間のフラクチュエーションを制御する。
• 重み分布の尾部挙動を分析することで、最初の通過時間が多項式的レートで収束することを確立する。
• 収束速度を用いて、極限形状に平坦な辺が存在する場合の最初の通過時間の分散を研究する。
• 極限形状の幾何的性質および劣加法的議論を活用して、与えられたモーメントおよび percolation 条件の下での分散バインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺重みの低次のモーメント条件の下で、最初の通過時間確率過程における収束速度は何か？
• RQ2 臨界 percolation 以下であるが、ゼロ重みをとる辺が存在する場合、収束速度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 モデルの極限形状に平坦な辺が存在する場合、最初の通過時間の分散は何か？
• RQ4 収束速度の結果を、極限形状に平坦な辺が存在する場合に非自明な分散バインディングを導出するために応用できるか？
• RQ5 辺重み分布のモーメント条件は、最初の通過時間のスケーリング挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 2未満の順序の有限モーメントの仮定の下で、最初の通過時間が多項式的レートでその漸近的極限に収束することが示された。
• 重み分布にゼロとなる確率が正であるが、臨界 percolation 以下である場合、収束速度は依然として多項式的である。
• 収束速度は、モーメント条件およびゼロ重み確率の準臨界的性質に基づいて定量的にバインディング可能である。
• 最初の通過時間の分散が、極限形状に平坦な辺が存在する場合、導出された収束バインディングと整合するレートで増加することが示された。
• 収束速度の結果の応用により、平坦な辺が存在する場合に非自明な分散推定値が得られ、これはスケーリング挙動を複雑にする要因として知られている。
• 解析により、平坦な辺が極限形状に存在しても、低次のモーメント仮定と組み合わせることで意味のある分散バインディングを導出可能であることが確認された。