[論文レビュー] Rational and trigonometric degeneration of the double affine Hecke algebra of type $A$

Takeshi Suzuki|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、代数埋め込みと誘導関手を介して、タイプ$A_n$の有理的チェレドニク代数の圏$Σ$から、非退化双 affineヘッケ代数（DAHA）の圏$Σ$への完全忠実埋め込みを確立する。主な結果は、この関手によって単純モジュールおよび標準モジュールが保存されることであり、これにより表現論的結果の転送が可能となり、特に半単純部分圏$Σ^{ss}$における単純モジュールの分類が得られる。

ABSTRACT

We study a connection between the representation theory of the rational Cherednik algebra of type $GL_n$ and the representation theory of the degenerate double affine Hecke algebra (the degenerate DAHA). We focus on an algebra embedding from the rational Cherednik algebra to the degenerate DAHA and investigate the induction functor through this embedding. We prove that this functor embeds the category ${\mathcal O}$ for the rational Cherednik algebra fully faithfully into the category ${\mathcal O}$ for the degenerate DAHA. We also study the full subcategory ${\mathcal O}^{ss}$ of ${\mathcal O}$ consisting of those modules which are semisimple with respect to the commutative subalgebra generated by Cherednik-Dunkl operators. A classification of all irreducible modules in ${\mathcal O}^{ss}$ for the rational Cherednik algebra is obtained from the corresponding result for the degenerate DAHA.

研究の動機と目的

• 有理的チェレドニク代数$\mathbf{H}_\kappa$とタイプ$A_n$の非退化DAHA$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$の表現理論の間の関係を確立すること。
• $\mathbf{H}_\kappa$から$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$への代数埋め込みを構成し、その局域化と$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$の同型を拡張すること。
• 誘導関手$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$とその圏$Σ$への作用を研究すること。
• 非退化DAHAの既知の結果を用いて、有理的チェレドニク代数の半単純部分圏$Σ^{ss}$における単純モジュールの分類をすること。

提案手法

• 代数埋め込み$\mathbf{H}_\kappa \to \widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$を構成し、$\mathbf{H}_\kappa$の局域化と$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$との間の同型に拡張する。
• 誘導関手$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$を用いて、$\mathbf{H}_\kappa$-modから$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$-modへのモジュール写像を行う。
• 関手を$\mathcal{O}(\mathbf{H}_\kappa)$から$\mathcal{O}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$への完全忠実埋め込みに制限し、標準モジュールおよび単純モジュールを保存する。
• 半単純部分圏$\mathcal{O}^{ss}$を、チェレドニク＝ダンクル作用素が生成する可換部分代数に関して半単純なモジュールとして定義する。
• 誘導関手が$\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$を$\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$に写像し、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$に関する既知の分類を活用する。
• 誘導関手を介して、$\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$における単純モジュールの分類を、$\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$における分類から導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的チェレドニク代数の表現理論を非退化DAHAのそれとどのように関連付けることができるか？
• RQ2 代数埋め込み$\mathbf{H}_\kappa \to \widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$から誘導される誘導関手は、圏$Σ$の構造を保存するか？
• RQ3 非退化DAHAにおける$Σ^{ss}$の単純モジュールの分類を、有理的チェレドニク代数のそれの分類に応用できるか？
• RQ4 誘導関手は、圏$Σ$における標準モジュールおよび単純モジュールにどのように作用するか？
• RQ5 標準モジュールのcomposition系列における単純モジュールの重複度は、$\mathbf{H}_\kappa$、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$、および元の双 affineヘッケ代数の間でどのように比較できるか？

主な発見

• 誘導関手$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$は、$\mathcal{O}(\mathbf{H}_\kappa)$を$\mathcal{O}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$に完全忠実に埋め込む。
• 関手は標準モジュールを保存する：$\mathbf{H}_\kappa$の標準モジュールは、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$の標準モジュールに写像される。
• 関手は単純性を保存する：$\mathbf{H}_\kappa$の単純モジュールは、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$の単純モジュールに写像される。
• 標準モジュールのcomposition系列における単純モジュールの重複度は、関手によって保存され、したがって$\mathbf{H}_\kappa$、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$、および元の双 affineヘッケ代数の間で等しい。
• 部分圏$\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$は、誘導関手によって$\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$に完全忠実に写像される。
• $\kappa \in \mathbb{Z}_{>0}$のとき、$\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$における単純モジュールは、$\bigsqcup_{m=1}^n \Lambda^+_{\kappa}(m,n)$の分割$\lambda$と一対一対応する。ここで$\Lambda^+_{\kappa}(m,n) = \{\lambda \in \Lambda^+(m,n) \mid \kappa - m - \lambda_1 + \lambda_m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}$である。