[論文レビュー] Rational approximation of $x^n$

Yuji Nakatsukasa, Lloyd N. Trefethen|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、区間 $[0,1]$ 上での $x^n$ の型-$(k,k)$ レイティス近似が、$k$ に関して指数的収束を示し、ミニマックス誤差が漸近的に $2H^{k+1/2}$ に近づくことを確立している。ここで $H \approx 1/9.28903$ はハルフェン定数であり、$n$ とは著しく無関係である。この結果は、区間 $[0,1]$ をメビウス変換により $(-\infty,0]$ に写像することで得られ、問題は $(-\infty,0]$ 上での $e^x$ のよく知られたレーティス近似に結びつける。その近似においても同様の誤差式が知られている。

ABSTRACT

Let $E_{kk}^{(n)}$ denote the minimax (i.e., best supremum norm) error in approximation of $x^n$ on $[\kern .3pt 0,1]$ by rational functions of type $(k,k)$ with $k

研究の動機と目的

• 型-$(k,k)$ レーティス関数を用いた $[0,1]$ 上での $x^n$ のミニマックス誤差を分析すること。
• 大きな $n$ に対して、$k$ に関して誤差が指数的に減少することを確立すること。
• メビウス変換を用いて、$[0,1]$ 上での $x^n$ の近似を、$(-\infty,0]$ 上での $e^x$ の近似という古典的問題に結びつけること。
• 漸近的誤差率が、$e^x$ の近似で知られているハルフェン定数 $H \approx 1/9.28903$ によって支配されることを示すこと。
• 偶数の $n$ に対して、結果を区間 $[-1,1]$ に拡張し、$\lfloor k/2 \rfloor$ に依存する修正された依存関係を示すこと。

提案手法

• 区間 $[0,1]$ を $(-\infty,0]$ に写像するメビウス変換を適用し、$x^n$ を $(1 - s/n)^{-n}$ に変換する。
• 型-$(k,k)$ レーティス近似がメビウス変換に対して不変であることを利用し、ミニマックス誤差が保存されることを保証する。
• $(1 - s/n)^{-n}$ が $(-\infty,0]$ 上で $e^s$ に一様収束し、誤差が $1/(en)$ で有界であることを確立する。
• $(-\infty,0]$ 上での $e^s$ のミニマックスレーティス近似に対して、既知の漸近的誤差式 $F_{kk} \sim 2H^{k+1/2}$ を用いる。ここで $H$ はハルフェン定数である。
• $n \to \infty$ の極限を取ることで、$(1 - s/n)^{-n}$ の近似誤差が $e^s$ のそれと等しくなることを示し、$E_{kk}^{(n)}$ と $e^x$ 問題を結びつける。
• 偶数の $n$ に対して、$[-1,1]$ に結果を拡張する。$s = x^2$ の置換を用い、$[0,1]$ 上での型-$(k/2,k/2)$ 近似に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \to \infty$ のとき、$[0,1]$ 上での型-$(k,k)$ レーティス近似におけるミニマックス誤差 $E_{kk}^{(n)}$ の漸近的挙動は？（$n$ が大きいとき）
• RQ2 なぜ $n \to \infty$、$k \to \infty$ の極限において、誤差 $E_{kk}^{(n)}$ は $n$ に依存しなくなるのか？
• RQ3 区間 $[0,1]$ 上での $x^n$ のレーティス近似は、$(-\infty,0]$ 上での $e^x$ の近似という古典的問題とどのように関係しているのか？
• RQ4 ハルフェン定数 $H \approx 1/9.28903$ は、$x^n$ のレーティス近似の収束速度にどのような役割を果たすのか？
• RQ5 定義域が $[-1,1]$ で $n$ が偶数のとき、収束速度はどのように変化するのか？

主な発見

• 型-$(k,k)$ レーティス近似による $[0,1]$ 上での $x^n$ のミニマックス誤差 $E_{kk}^{(n)}$ に対して、$\lim_{k \to \infty} \lim_{n \to \infty} E_{kk}^{(n)} / (2H^{k+1/2}) = 1$ が成り立ち、ここで $H \approx 1/9.28903$ はハルフェン定数である。
• 収束速度は $k$ に関して指数的であり、$e^x$ の $(-\infty,0]$ 上での近似と同一の漸近的公式を持つが、関数自体は異なる。
• 二重極限 $k, n \to \infty$ において誤差が $n$ に依存しないことは、$n$ が非常に大きい場合にレーティス関数の近似能力が一貫していることを示している。
• 偶数の $n$ に対して $[-1,1]$ 上で $x^n$ を近似する場合、誤差は $\lim_{k \to \infty} \lim_{\substack{n \to \infty \\ n \text{ 偶数}}} E_{kk}^{(n)} / (2H^{\lfloor k/2 \rfloor + 1/2}) = 1$ を満たし、有効次数が半分になることを反映している。
• $x = n/(n - s)$ の変換により、$[0,1]$ が $(-\infty,0]$ に写像され、$x^n$ は $(1 - s/n)^{-n}$ に変換され、$e^s$ に誤差 $\leq 1/(en)$ で収束する。
• 数値的証拠により、$E_{kk}^{(n)} \approx 2H^{k+1/2}$ が有限 $n$ に対しても成り立ち、多項式近似よりもはるかに速い収束を示しており、高精度を得るには $k \sim \sqrt{n}$ 必要である。