[論文レビュー] Rational approximation to the fractional Laplacian operator in reaction-diffusion problems

Lidia Aceto, Paolo Novati|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 62

ひとこと要約

本稿では、有界領域上の空間分数階ラプラシアン作用素を伴う分数階反応拡散方程式を、計算的に効率的に解くための有理近似法を提案する。密度行列のべき乗 $ L^{α/2} $ を二つの帯行列 $ M^{-1}K $ に近似することで、半線形系をスパースかつ計算に適した形に変換し、1次元および2次元空間において、標準的な行列転送手法と比較して顕著な計算コスト削減を実現しつつ、高精度かつスケーラブルな解法を可能にする。

ABSTRACT

This paper provides a new numerical strategy to solve fractional in space reaction-diffusion equations on bounded domains under homogeneous Dirichlet boundary conditions. Using the matrix transform method the fractional Laplacian operator is replaced by a matrix which, in general, is dense. The approach here presented is based on the approximation of this matrix by the product of two suitable banded matrices. This leads to a semi-linear initial value problem in which the matrices involved are sparse. Numerical results are presented to verify the effectiveness of the proposed solution strategy.

研究の動機と目的

• 離散ラプラシアンの密度行列のべき乗を含む分数階反応拡散方程式を解く際の高い計算コストを低減すること。
• 密度行列を生成するため、逆行列や分解に高コストがかかる標準的な行列転送手法の非効率性を克服すること。
• 計算負荷とメモリ使用量を削減しながらも、精度を維持する次元に依存しない数値戦略を開発すること。
• 解法のコア部分を変更せずに、2次元および3次元空間にこの手法を一般化すること。
• 分数階PDEの行列関数評価のための contour 積分や Krylov 法の実用的でスケーラブルな代替手段を提供すること。

提案手法

• 行列関数 $ L^{\alpha/2} $ を、$ z^{\alpha/2 - 1} $ の有理近似から得られる帯行列 $ M $ と $ K $ を用いて $ M^{-1}K $ に近似する。
• 行列関数の積分表現を離散化するためにガウス・ジャコビ求積則を用い、安定かつ高精度な有理近似を可能にする。
• ガウス・ジャコビ則に基づく最適な極を選択し、収束性と精度に最適なパラメータ $ \tau $ を調整する。
• 元の半線形常微分方程式系 $ \frac{du}{dt} = -\kappa_\alpha h^{-\alpha} L^{\alpha/2} u + f $ を $ M \frac{du}{dt} = -\kappa_\alpha h^{-\alpha} K u + M f $ に変換し、スパarsityを保つ。
• $ M $ と $ K $ の帯行列構造を活かして、`ode15s` などの標準的なODEソルバを用いた効率的な時間積分を実現する。
• 1次元および2次元問題に、それぞれ3点差分ステンシルおよび5点差分ステンシルを用いて、標準的な有限差分法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列関数 $ L^{\alpha/2} $ の有理近似を構築する際、得られる行列因子分解 $ M^{-1}K $ がスパarsityを保ち、効率的な時間積分を可能にするか。
• RQ2 ガウス・ジャコビ求積則のパラメータ $ \tau $ の選択が、有理近似の精度および収束速度に与える影響は何か。
• RQ3 標準的な行列転送手法と比較して、提案手法のメモリ使用量および解法時間における計算的利点は何か。
• RQ4 有理近似戦略を、解法フレームワークを変更せずに2次元および3次元空間に拡張可能か。
• RQ5 四則近似の次数 $ k $ に伴い、近似誤差はどのようにスケーリングされるか。また、数値実験で観察される収束特性は何か。

主な発見

• 有理近似法は、行列転送手法と同等の高精度を達成しており、$ k = 3 $ の場合最大誤差が $ 10^{-6} $ 量級、$ k = 5 $ の場合 $ 10^{-5} $ 量級の誤差を示した。
• 2次元問題（$ N = 40 $）において、行列転送手法は同じ精度に到達するまで、有理近似法の3倍の計算コストを要した。
• 有理近似の誤差は四則近似次数 $ k $ の増加に伴い減少し、例3において $ t = 0.5 $ 時点で $ k = 5 $ が $ k = 1 $ より顕著に小さい誤差を示した。
• 本手法は、分数階数 $ \alpha $ に伴う拡散の依存性を適切に捉えており、例2では $ \alpha = 1.1 $ と $ \alpha = 1.9 $ で明確に異なる解のプロファイルが観察された。
• 非自明な解析解を含む例1、例3、例4において、初期条件や外力項の変更に対しても安定かつ高精度を維持した。
• 本手法は、1次元から2次元への拡張においても、アルゴリズムの構造を変更せず、スケーラブルで、次元に依存しない性質を示した。