[論文レビュー] Rational approximations for values of the digamma function and a denominators conjecture

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、超幾何和と線形再帰を用いて、$\text{ln}(b) - \psi(a+1)$ に対する明示的な有理近似を構築し、Eulerの定数に関するAptekarevの研究を一般化する。分子および分母の正確な公式を提示し、$e^{-2\sqrt{2bn}}$ のオーダーの漸近的誤差評価を証明するとともに、$\gamma + \text{ln}(b)$ および $\gamma$ と $\zeta(2) - \gamma^2$ の同時近似におけるRivoalの分母に関する予想を確認する。本手法により、$\pi/2 \pm \gamma$ の近似も同様の精度で得られる。

ABSTRACT

In 2007, A.I.Aptekarev and his collaborators discovered a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a linear recurrence. In this paper, we generalize this result and present an explicit construction of rational approximations for the numbers $\ln(b)-ψ(a+1),$ $a, b\in {\mathbb Q},$ $b>0, a>-1,$ where $ψ$ defines the logarithmic derivative of the Euler gamma function. We prove exact formulas for denominators and numerators of the approximations in terms of hypergeometric sums. As a consequence, we get rational approximations for the numbers $π/2\pmγ.$ We compare the results obtained with those of T. Rivoal for the numbers $γ+\ln(b)$ and prove denominators conjectures proposed by Rivoal for denominators of rational approximations for $γ+\ln(b)$ and common denominators of simultaneous approximations for the numbers $γ$ and $ζ(2)-γ^2.$

研究の動機と目的

• 有理数 $a > -1$, $b > 0$ に対して、Eulerの定数 $\gamma$ に関するAptekarevの有理近似を、より広いクラス $\text{ln} b - \psi(a+1)$ に一般化すること。
• 超幾何和および組み合わせ的恒等式を用いて、これらの近似の分子および分母の明示的閉形式表現を導出すること。
• 漸近的誤差評価 $\frac{p_n}{q_n} - (\text{ln} b - \psi(a+1)) = O(e^{-2\sqrt{2bn}})$ を $n \to \infty$ として証明すること。
• Rivoalが提唱した、$\gamma + \text{ln} b$ の有理近似の分母および $\gamma$ と $\zeta(2) - \gamma^2$ の同時近似における共通分母に関する予想を確認すること。
• 一般枠組みを用いて、$\pi/2 \pm \gamma$ などの特殊値の明示的近似を構築すること。

提案手法

• 微分作用素が $x^n(x^{n+a}(1-x)^{2n+1}e^{-bx})^{(n)}$ に作用する形で、区間 $[0,1]$ および $[1,\infty)$ において単項式と直交する有理関数列 $Q_n^{(a,b)}(x)$ を定義する。
• 重み関数 $x^a(1-x)e^{-bx}$ および $x^a(1-x)e^{-bx}\ln x$ を用いた $Q_n^{(a,b)}(x)$ のモーメントとして、近似分数 $p_n/q_n$ を構成し、$p_n$ および $q_n$ の正確な公式を得る。
• $q_n$ を $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k}$ として表現し、整数係数の $a$ および $b$ に関する多項式としての性質を示す。
• $p_n$ を調和数 $H_{n+k}(a)$ を含む和および符号が交互に変わる三重和として表現し、$\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$ に属することを示す。
• 超幾何和の漸近的解析を用いて、主項の挙動を導出：$q_n \sim (2n)! \frac{e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} c(a,b)$ および $p_n - q_n(\text{ln} b - \psi(a+1)) \sim (2n)! \frac{-e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} 2\pi c(a,b)$。
• 特殊ケースに本手法を適用：$a=0, b=1$ の場合に $\gamma$ を、$a=0, b\in\mathbb{Q}$ の場合に $\gamma + \text{ln} b$ を、$b=1/8, a=-3/4$ の場合に $\pi/2 + \gamma$ を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数 $\text{ln} b - \psi(a+1)$ に対して、分子および分母の明示的・閉形式表現を備えた有理近似を構築できるか？
• RQ2 これらの近似の漸近的誤差率は何か？ また、$n$ およびパrameter $a,b$ の形で表現可能か？
• RQ3 $\gamma + \text{ln} b$ の近似における分母が、Rivoalの予想する形 $\frac{n!}{D_n}$ に一致するか？
• RQ4 本手法を、$\gamma$ と $\zeta(2) - \gamma^2$ の共通分母を用いた同時近似に拡張可能か？
• RQ5 $\pi/2 \pm \gamma$ の近似は何か？ また、その収束速度は？

主な発見

• 分母 $q_n$ は $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k} \in \mathbb{Z}[a,b]$ であり、分子 $p_n$ は $\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$ に属する。
• $a=0, b=1$ の場合、近似分数は再帰式 $(16n-15)q_{n+1} = (128n^3 + 40n^2 - 82n - 45)q_n - n^2(256n^3 - 240n^2 + 64n - 7)q_{n-1} + n^2(n-1)^2(16n+1)q_{n-2}$ を満たす。
• $\gamma$ の漸近的誤差は、$n \to \infty$ のとき $\left| \frac{p_n}{q_n} - \gamma \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2n}}(1 + O(n^{-1/2}))$ である。
• $\gamma + \ln b$ の場合、誤差は $\left| \frac{p_n}{q_n} - (\gamma + \ln b) \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2bn}}(1 + O(n^{-1/2}))$ である。
• $\pi/2 + \gamma$ の場合、$a = -3/4, b = 1/8$ とすると、誤差は $\left| \frac{p_n}{q_n} - \left(\gamma + \frac{\pi}{2}\right) \right| = 2\pi e^{-\sqrt{n}}(1 + O(n^{-1/2}))$ である。
• 本手法により、Rivoalの予想である、$\gamma + \ln b$ の近似の分母が $\frac{n!}{D_n}\mathbb{Z}[b]$ に属すること、および $\gamma$ と $\zeta(2) - \gamma^2$ の同時近似における共通分母が $\frac{1}{(n+1)^3 n!^2 D_n^2}\mathbb{Z}$ に属することを確認した。