[論文レビュー] Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes II: representations and sheaves

Iain J. Gordon, J. T. Stafford|ArXiv.org|Oct 12, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、球面的チェレドニク代数 $U_c$ のフィルター付き加群に coherent sheaf を対応させる $\Delta$-関手の構成を通じて、有理的チェレドニク代数と平面における点のヒルベルトスキームの間に深い接続を確立する。$c = 1/n$ のとき、自明加群に対応する層が点的ヒルベルトスキームの構造層であることを証明し、Berest-Etingof-Ginzburg が提起した、有限次元加群の双次数構造がヒルベルトスキーム上の線束のコホモロジーと一致するという予想を確認する。

ABSTRACT

Let H_c be the rational Cherednik algebra of type A_{n-1} with spherical subalgebra U_c=eH_ce. Then U_c is filtered by order of differential operators with associated graded ring gr U_c=C[h + h*]^W, where W is the n-th symmetric group. Using the Z-algebra construction from our earlier paper (math.RA/0407516) it is also possible to associate to a filtered H_c- or U_c-module M a coherent sheaf on the Hilbert scheme Hilb(n). Using this technique, we study the representation theory of U_c and H_c, and relate it to Hilb(n) and to the resolution of singularities from Hilb(n) to h+h*/W. For example, we prove: (1) If c=1/n, so that L_c(triv) is the unique one-dimensional simple H_c-module, then L_c(triv) corresponds to the structure sheaf of the punctual Hilbert scheme. (2) If c=1/n+k (for k some natural number) then, under a canonical filtration on the finite dimensional module L_c(triv), gr eL_{c}(triv) has a natural bigraded structure which coincides with that on the global sections of certain ample line bundles on the punctual Hilbert scheme; this confirms conjectures of Berest, Etingof and Ginzburg, and relates representations of H_c and U_c with Haiman's combinatorial work on the Hilbert scheme. (3) Under mild restrictions on c, the characteristic cycle of the standard H_c-modules are described in terms of certain irreducible subvarieties of the Hilbert scheme (appearing originally in work of Grojnowski) with multiplicities given by Kostka numbers.

研究の動機と目的

• 球面的チェレドニク代数 $U_c$ のフィルター付き加群とヒルベルトスキーム $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の coherent sheaf の間の関手的対応を確立すること。
• $H_c$ および $U_c$ の表現論を、特にその特異点の解消 $\tau: \operatorname{Hilb}(n) \to \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^* / W$ の幾何的不変量と関連付けること。
• Berest, Etingof, Ginzburg が提起した、$c = 1/n + k$ のとき $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ の双次数構造が $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$ と一致するという予想を検証すること。
• 標準的加群に対応する層の特徴的サイクルを計算し、Kostka 数および $\tau^{-1}(0)$ の既約成分と関連付けること。

提案手法

• [GS] の $\mathbb{Z}$-代数の構成を用い、$U_c$ にフィルター付き $\mathbb{Z}$-代数 $B$ を対応させる。ここで $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$ である。
• 任意のフィルター付き $H_c$-加群 $N$ に対して、$eH_c \otimes_{H_c} N$ 上のテンソル積フィルターを用いて $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の層 $\widehat{\Phi}(N)$ を構成する。
• $\mathbb{Z}$-代数加群への関手的付随層を適用することで、$\operatorname{gr} B$-加群を得る。この加群は $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の coherent sheaf に対応する。
• $e$ を用いた $H_c$ と $U_c$ 間のモラータ同値性を用い、関手を $U_c$-加群に対しても定義可能であることを示す。
• $\mathbf{E}$ のオイラー作用素と $W$-作用からの双次数を用いて、$\operatorname{gr} U_c$ の構造を分析し、$\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ の構造を解明する。
• Conze 埋め込みと $D(\mathfrak{h}/W)$ の解析を用い、$D(\mathfrak{h}/W)$ が $U_c$-左加群として平坦であることを証明し、幾何的解釈を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面的チェレドニク代数 $U_c$ のフィルター付き加群を、ヒルベルトスキーム $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の coherent sheaf に体系的にどのように対応付けることができるか？
• RQ2 $c = 1/n$ のとき、付随層 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ の幾何的解釈は何か？
• RQ3 $c = 1/n + k$ のとき、$\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ の双次数構造は、Berest, Etingof, Ginzburg が予想したように $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$ と一致するか？
• RQ4 層 $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$ の特徴的サイクルは、Kostka 数および $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$ の既約成分を用いて表現可能か？
• RQ5 $\mathbb{Z}$-代数 $B$ は、$U_c$-加群を $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の層として実現する役割を果たすが、そのgraded構造はヒルベルトスキームの幾何にどのように反映されるか？

主な発見

• $c = 1/n$ のとき、層 $\widehat{\Phi}(eL_c(\operatorname{triv}))$ は $\mathcal{O}_{\operatorname{Z}_n}$、すなわち点的ヒルベルトスキーム $\operatorname{Z}_n = \tau^{-1}(0)$ の構造層に同型である。
• $c = 1/n + k$（$k \in \mathbb{N}$）のとき、付随層 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ は自然な双次数構造を備え、$H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$ の双次数構造と一致する。これは Berest, Etingof, Ginzburg の予想を確認する。
• $c$ に対してやや弱い条件下で、層 $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$ の特徴的サイクルは $\sum_{\lambda} K_{\mu\lambda} [Z_\lambda]$ と表される。ここで $K_{\mu\lambda}$ は Kostka 数、$Z_\lambda$ は $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$ の既約成分である。
• $D(\mathfrak{h}/W)$ は、Conze 埋め込みと $\operatorname{gr} D(\mathfrak{h}/W)$ 上の双次数の議論により、$U_c$-左加群として平坦であることが示された。
• $\mathbb{Z}$-代数 $B$ は、$\operatorname{Hilb}(n)$ の斉次座標環の非可換変形を実現する。ここで $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$ である。
• $eH_c \otimes_{H_c} N$ 上のテンソル積フィルターによる $\widehat{\Phi}$ の構成は、フィルター付き $H_c$-加群から $\operatorname{Hilb}(n)$ 上の coherent sheaf へのwell-definedな関手を定め、モラータ同値性と整合する。