[論文レビュー] Rational curves on Calabi-Yau threefolds and a conjecture of Oguiso

Simone Diverio|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau 3次元多様体上に有理曲線が存在するかを検討し、Picard数が小さい条件下でその多様体は非超曲面的であり、有理曲線を含むと提案している。微分幾何的曲率条件（特に非退化な負の $k$-jet 曲率）と代数幾何的技法を組み合わせ、$\rho(X) > 4$ で非ゼロのネフでないアーマーなラインバンドルを持つCalabi-Yau 3次元多様体は有理曲線を含むことを証明した。これはOguisoの予想を支持するものである。

ABSTRACT

This short note is an extended abstract of a talk given at the conference "Komplexe Analysis" at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach in September 2012. We explained some recent results about the existence of rational curves on Calabi-Yau threefolds as well as a curvature approach to the non hyperbolicity of such manifolds.

研究の動機と目的

• Oguisoの予想であるCalabi-Yau 3次元多様体の非超曲面的性を示すために、有理曲線の存在を証明すること。
• 微分幾何的曲率条件（特に非退化な負の $k$-jet 曲率）を、canonical bundleの正則性と有理曲線の不在と結びつけること。
• Calabi-Yau 3次元多様体が $\rho(X) > 4$ で非ゼロのネフでないアーマーなラインバンドルを持つ場合、有理曲線を含むことを確立し、代数幾何学における伝統的予想を前進させること。
• Kawamata-MorrisonのCone予想が3次元におけるKobayashi予想に与える影響を検討すること。
• 曲率の正負とKodaira次元やネフコーンといった双有理不変量を結びつけることで、微分幾何学と代数幾何学を橋渡しすること。

提案手法

• ホロモーフィック断面曲率を分析し、そのRicci曲率や第一チャーン類への影響を評価する。$c_1(X)_{\mathbb{R}} = 0$ の下で矛盾を導くために、平均化およびトレースの議論を用いる。
• コンパクト化されたジェットバンドル $X_k$ を用いて、非退化な負の $k$-jet 曲率の概念を導入する。$\mathcal{O}_{X_k}(-1)$ 上の特異ヘルミート計量を用い、部分バンドル $V_k$ 沿いに負定値の曲率を持つものとする。
• Cone定理と対数最小モデルプログラム（log-MMP）を適用し、非ゼロの有効的でないネフなラインバンドルの存在が有理曲線の存在を示唆することを示す。
• Kawamata-MorrisonのCone予想を用いて、自己同型群作用の下でネフコーンが有理的多面体であることを示し、ネフ境界における有理点の稠密性の議論を可能にする。
• Euler特性の計算とKawamata–Viehwegの消失定理を用いて、$c_2(X) \cdot D > 0$ を満たす $\mathbb{Q}$-因子 $D$ の有効性を証明し、有理曲線の存在に繋げる。
• Beauville-Bogomolov分解と超曲面的多様体に有理曲線がないことを利用し、3次元におけるKobayashi予想をCalabi-Yau 3次元多様体の非超曲面的性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロのネフでないアーマーなラインバンドルと $\rho(X) > 4$ を満たすCalabi-Yau 3次元多様体は、必ず有理曲線を含むのか？
• RQ2 非退化な負の $k$-jet 曲率は $c_1(X)_{\mathbb{R}} \neq 0$ を示唆するのに十分か？
• RQ3 Kawamata-MorrisonのCone予想が3次元におけるKobayashi予想を示唆するのか。ただし、Picard数1のCalabi-Yau 3次元多様体については例外となる可能性がある。
• RQ4 Calabi-Yau 3次元多様体に非ゼロの有効的でないアーマーなラインバンドルが存在する場合、Cone定理を用いて有理曲線の存在を保証できるか？
• RQ5 測度的超曲面的性が一般型を意味するという予想が3次元多様体においてKobayashi予想と同値であるか？

主な発見

• 非ゼロのネフでないアーマーなラインバンドルと $\rho(X) > 4$ を満たすCalabi-Yau 3次元多様体は有理曲線を含む。これは、この条件下でOguisoの予想に肯定的な答えを与える。
• 非ゼロの有効的でないアーマーなラインバンドルが存在する場合、Cone定理とlog-MMPを用いて有理曲線の存在が保証される。
• Kawamata-MorrisonのCone予想が成立するならば、3次元におけるKobayashi予想は成立するが、Picard数1の超曲面的Calabi-Yau 3次元多様体については例外となる可能性がある。
• 非退化な負の $k$-jet 曲率は超曲面的性を示し、本稿ではそれが $c_1(X)_{\mathbb{R}} \neq 0$ を示唆するかという未解決の問題を提起している。これはcanonical bundleの正則性を支持するものである。
• 負のホロモーフィック断面曲率は負のスカラー曲率を示し、$c_1(X)_{\mathbb{R}} = 0$ の下で、Ricci形式と滑らかな関数の $\omega$-ラプラシアンを用いて矛盾が生じる。
• Calabi-Yau 3次元多様体に有理曲線がない場合、その自己同型群は有限である。Kawamata-Morrison予想が成立するならば、ネフコーンは有理的多面体となり、$c_2(X)$ と正の交差を示す有効的 $\mathbb{Q}$-因子の構成が可能になる。