[論文レビュー] Rational Fibrations of $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$

David Jensen|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、デル・ペッツォ表面と接する超平面を用いた幾何的構成を用いて、$¯{M}_{5,1}$および$¯{M}_{6,1}$から低次元の有理曲線の標識付きモジュライ空間への有理被覆を構成する。主な結果として、有理写像を介した新しい方法により、効果的コーン内の極小的レイを生成する、Weierstrass除集合$BN^{1}_{5,(0,5)}$および$¯{M}_{6,1}$上の新しい除集合$D_6$が得られる。

ABSTRACT

This is the second of two papers on the birational geometry of $\bar{M}_{g,1}$. We construct rational maps from $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$ to lower-dimensional moduli spaces. As a consequence, we identify geometric divisors that generate extremal rays of the effective cones for these spaces.

研究の動機と目的

• 低次元の代数的多様体への非自明なモルフィズムが存在しないという障害を克服し、$¯{M}_{5,1}$および$¯{M}_{6,1}$からより単純なモジュライ空間への有理写像を構成すること。
• $\overline{M}_{5,1}$および$\overline{M}_{6,1}$における幾何的除集合を同定し、それらが効果的コーン$\overline{NE}^1$内の極小的レイを生成することを示すこと。
• 有理写像を用いた幾何的構造（例：デル・ペッツォ表面、接する超平面）を通じて、双有理収縮を超える極小的レイの理解を拡張すること。
• 境界除集合の有理写像による引き戻しを新たな幾何的メカニズムとして提供し、曲線のモジュライ空間の効果的コーン内での極小的レイの検出を可能にすること。

提案手法

• For $\overline{M}_{5,1}$, 有理写像$\phi_5$を、$\mathbb{P}^4$内の種数5曲線の canonical 埋め込み（3つの二次曲面の完全交差）を用い、関連する接する超平面とデル・ペッツォ表面の交点を解析することで構成する。
• マークされた点でデル・ペッツォ表面を blown up し、その後、strict な変換の交点で再び blown up して、4つのマークされた点を持つ$\mathbb{P}^1$を生成し、$\overline{M}_{0,4}$への写像を得る。
• For $\overline{M}_{6,1}$, 一般の種数6曲線が滑らかな5次デル・ペッツォ表面$Y$上で$|-2K_Y|$の切断として埋め込まれることを用い、曲線を無視してマークされた点のみを保持する有理写像$\phi_6$を定義し、$Y/S_5 \cong \widetilde{M}_{0,5}$に写像する。
• 有理写像$\phi_5$および$\phi_6$による標識付きブリル・ノイマン除集合の像を解析し、それらが$\overline{M}_{0,4}$および$\overline{M}_{0,5}$の境界除集合の引き戻しに含まれることを示す。
• 有理写像の下で2つの除集合が同じ点に写り、かつ一方が他方の倍数でない場合、命題2.3により両方とも$\overline{NE}^1$内で極小的レイを生成することが示される。
• 数値同値性および既知の除集合関係（例：$BN^{1}_{4,(0,3)} = BN^{1}_{5,(0,5)} + BN^{1}_{3}$）を用い、線形同値性を除外し、極小性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理被覆$¯{M}_{g,1}$から有理曲線のモジュライ空間への写像は、効果的コーン内の極小的レイを明らかにできるか？
• RQ2 Weierstrass除集合$BN^{1}_{5,(0,5)}$は、$¯{M}_{5,1}$の効果的コーン内で極小的レイを生成するか？
• RQ3 $¯{M}_{6,1}$上に、標識付きブリル・ノイマン型でない幾何的除集合が存在し、極小的レイを生成するか？
• RQ4 有理写像による境界除集合の引き戻しは、$¯{M}_{g,1}$の効果的コーン内での極小的レイを検出できるか？

主な発見

• 有理写像$\phi_5$による像が$\overline{M}_{0,4}$上の点の引き戻しに含まれることを示し、Weierstrass除集合$BN^{1}_{5,(0,5)}$が$\overline{NE}^1(\overline{M}_{5,1})$内で極小的レイを生成することを証明した。
• 標識付きブリル・ノイマン除集合$BN^{1}_{4,(0,3)}$は、$\overline{M}_{0,4}$上のアーマー除集合の引き戻しとして得られ、これにより極小的レイを生成することが示された。
• $\overline{M}_{6,1}$上の除集合$D_6$（$g^2_6$と$g^1_4$がマークされた点で分岐する曲線の閉包）は、$\overline{NE}^1(\overline{M}_{6,1})$内で極小的レイを生成する。
• $BN^{2}_{6,(0,2,4)}$は、数値的に$BN^{1}_{4,(0,3)}$の倍数に同値である。これは、$BN^{1}_{5,(0,5)}$や$BN^{1}_{3}$とは線形同値でない（非移動的であるため）ためである。
• 有理写像$\phi_5: \overline{M}_{5,1} \dashrightarrow \overline{M}_{0,4}$は、曲線とマークされた点に関連するデル・ペッツォ表面の blown up を通じて構成され、モジュライ空間の幾何的パrameter化をもたらす。
• 有理写像$\phi_6: \overline{M}_{6,1} \dashrightarrow \widetilde{M}_{0,5}$は、種数6曲線の5次デル・ペッツォ表面への一意的埋め込みから生じ、マークされた点が像の点を決定する。