[論文レビュー] Rational fixed points for linear group actions

Pietro Corvaja|ArXiv.org|Oct 23, 2006

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴値がゼロの有限生成体上での線型代数的群におけるザリスキ・DNAの部分半群の存在について幾何的基準を確立し、このような部分半群が有理数固定点しか持たないのは、特定の分岐なし被覆およびリフト写像が存在する場合に限ることを示している。主な貢献は、線型群作用におけるヒルベルトの不可約性定理のバージョンを提供することであり、古典的な有理数固有値および固定点に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $k$ be a finitely generated field, let $X$ be an algebraic variety and $G$ a linear algebraic group, both defined over $k$. Suppose $G$ acts on $X$ and every element of a Zariski-dense semigroup $Γ\subset G(k)$ has a rational fixed point in $X(k)$. We then deduce, under some mild technical assumptions, the existence of a rational map $G o X$, defined over $k$, sending each element $g\in G$ to a fixed point for $g$. The proof makes use of a recent result of Ferretti and Zannier on diophantine equations involving linear recurrences. As a by-product of the proof, we obtain a version of the classical Hilbert Irreducibility Theorem valid for linear algebraic groups.

研究の動機と目的

• 代数的多様体上の線型代数的群作用の文脈において、ヒルベルトの不可約性定理を一般化すること。
• 有限生成体上の線型代数的群におけるザリスキ・DNAの部分半群が、与えられた多様体上に有理数固定点を持つための必要十分条件を特定すること。
• GL_N の代数的部分群で、少なくとも一つの有理数固有値を持つザリスキ・DNAの部分半群を有するものについての特徴づけを行うこと。
• 有理数固定点の存在と群構造における分岐なし被覆およびリフト写像の存在との間の関係を確立すること。

提案手法

• フェレッティとザニエリによる、有限生成体上の多様体における有理点に関する新しいディオファントス的結果に依拠する。
• 代数的群作用の構造を用いて、有理数固定点の存在を、群 G から多様体 X への有理写像を通じて分析する。
• ガロア被覆およびスパars集合の理論を用いて、群元の特性多項式の分解体を研究する。
• 群 G から多様体 X への G-不変な有理写像 w: G → X の構成が、G(κ) のすべての元に対して固定点の存在を示す上で中心的である。
• Lie-Kolchin 定理およびフラッグ多様体の性質を応用し、追加の仮定の下で特定の代数的群の可解性を導出する。
• ザリスキ・DNA半群における有理数固有値の存在と、射影空間への有理写像または特徴の存在との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成体上の線型代数的群におけるザリスキ・DNAの部分半群が、与えられた多様体上に有理数固定点を持つための幾何的条件は何か？
• RQ2 すべてのザリスキ・DNA半群の元に対して有理数固定点が存在するとき、群から多様体への有理 G-不変写像が存在することを示す条件は何か？
• RQ3 ある連結線型代数的群が有限生成体上に定義されているとき、その部分半群が有理数固有値を持つならば、その群全体が有理数固有値を持つための正確な代数的幾何的条件は何か？
• RQ4 有理数固有値を持つザリスキ・DNAの行列部分半群の存在を、乗法群の直積への群準同型の存在によって特徴づけられるか？
• RQ5 有理数固定点写像の存在にあたり、ある群元が有限個の固定点しか持たないという仮定は必要か？

主な発見

• 多様体 X 上に有理数固定点を持つザリスキ・DNAの部分半群 Γ ⊂ G(κ) が存在するための必要十分条件は、分岐なし被覆 p: G̃ → G および π∘θ = p を満たす有理写像 θ: G̃ → V が存在することである。ここで π: V → G は有限写像である。
• X が射影的であり、Γ ⊂ G(κ) がザリスキ・DNAで、各 γ ∈ Γ が X 上に有理数固定点を持つならば、すべての g ∈ G(κ) が X(κ) 上に有理数固定点を持つ。
• 有限生成体 κ 上に定義された連結代数的部分群 G ⊂ GL_N に対して、ザリスキ・DNAの部分半群 Γ ⊂ G(κ) が少なくとも r 個の有理数固有値（重複度を含む）を持つならば、すべての g ∈ G(κ) が少なくとも r 個の有理数固有値を持つ。
• κ 上に定義された特徴 χ: G → G_m^r が存在し、すべての g ∈ G に対して g の特性多項式が (T - χ_1(g))⋯(T - χ_r(g)) で割り切れる。
• 有理数固定点写像 w: G → X の存在は、一般の群元の特性多項式の分解体のガロア群が、写像 π がセクションをもたない限り、完全なガロア群と同型でないことを示唆する。
• 最大フラッグ多様体の場合、このような写像の存在は G が可解であり、したがってその作用で完全なフラッグを固定することを意味する。