[論文レビュー] Rational functions with identical measure of maximal entropy

Hexi Ye|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの有理型関数が同じ最大エントロピー測度（MME）を持つのはいつかを調査し、次数 $ d \geq 3 $ の一般の有理型写像に対して、同一のMMEは写像の反復 $ f^n = g^m $ を意味することを示している。次数2の場合、$ \sigma_f $ と呼ばれる対称性により、$ \sigma_f \circ f^n $ もMMEを共有する。本稿では、$ f^n \neq \sigma \circ g^m $ となる明示的な例を構成し、有理型の場合にはMME条件における多項式的関係が常に成り立つわけではないことを証明している。

ABSTRACT

We discuss when two rational functions $f$ and $g$ can have the same measure of maximal entropy. The polynomial case was completed by (Beardon, Levin, Baker-Eremenko,Schmidt-Steinmetz, etc., 1980s-90s), and we address the rational case following Levin-Przytycki (1997). We show: $μ_f = μ_g$ implies that $f$ and $g$ share an iterate ($f^n = g^m$ for some $n$ and $m$) for general $f$ with degree $d \geq 3$. And for generic $f\in \Rat_{d\geq 3}$, $μ_f = μ_g$ implies $g=f^n$ for some $n \geq 1$. For generic $f\in \Rat_2$, $μ_f = μ_g$ implies that $g= f^n$ or $σ_f\circ f^n$ for some $n\geq 1$, where $σ_f\in PSL_2(\C)$ permutes two points in each fiber of $f$. Finally, we construct examples of $f$ and $g$ with $μ_f = μ_g$ such that $f^n eq σ\circ g^m$ for any $σ\in PSL_2(\C)$ and $m,n\geq 1$.

研究の動機と目的

• 2つの有理型関数 $ f $ と $ g $ が同じ最大エントロピー測度（MME）を持つのはいつかを特定すること。
• 同一のMMEが成立する場合、Julia集合の等値性と反復同値性が成り立つ多項式の場合の既知の結果を、有理型関数の文脈に拡張すること。
• 一般の $ f \in \mathrm{Rat}_d $ に対して、$ \mu_f $ を共有するすべての有理型関数からなる集合 $ M_f $ の構造を同定すること。
• 反復関係やMöbius共役関係がないにもかかわらず、同一のMMEを持つ非例外的有理型関数の明示的例を構成すること。

提案手法

• Julia集合 $ J_f $ に特徴づけられる、最大エントロピー $ \log d_f $ を達成する一意な不変確率測度 $ \mu_f $ の使用。
• 特に次数 $ d \geq 3 $ の場合に、単純な臨界値に注目した臨界値およびその重複度の理論の応用。
• 次数2の写像に対して、ファイバーを置換し $ \mu_f $ を保存する一意なMöbius対称性 $ \sigma_f \in \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C}) $ の存在を活用。
• 三つ組 $ (R, S, T) $ を用いた反例の構成：$ T \circ R = T \circ S $、$ R \neq \sigma \circ S $、および $ \mu_{R \circ T} = \mu_{S \circ T} $ を満たすもので、$ V_T \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ における genus-0 曲線の正規化を用いる。
• 固定点近傍における局所的力学とホロノミーの議論を用いて、MMEの等値性と周期点の共有から、写像が可換であることを示す。
• エントロピー、周期的点、動的同値性に関する [LY1]、[FLM]、[Le1]、[YZ] の結果の利用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの有理型関数 $ f $ と $ g $ が同じ最大エントロピー測度を持つのはいつか？
• RQ2 多項式の場合と同様に、$ \mu_f = \mu_g $ が $ f^n = g^m $ または $ f^n = \sigma \circ g^m $（あるMöbius変換 $ \sigma $ に対して）を意味するのか？
• RQ3 $ f $ と $ g $ の間に反復関係やMöbius共役関係がないにもかかわらず、$ \mu_f = \mu_g $ が成り立つことはあり得るか？
• RQ4 一般の $ f \in \mathrm{Rat}_d $ に対して、集合 $ M_f = \{ g \in \mathrm{Rat}_d : \mu_g = \mu_f \} $ の構造は何か？
• RQ5 同一のMMEを持つが、周期点集合が異なる有理型関数は存在するか？

主な発見

• 一般の $ f \in \mathrm{Rat}_d $（$ d \geq 3 $）に対して、$ \mu_f = \mu_g $ ならばある $ n, m \geq 1 $ に対して $ f^n = g^m $ が成り立ち、$ M_f = \{ f^n \}_{n \geq 1} $ となる。
• 一般の $ f \in \mathrm{Rat}_2 $ に対して、$ \mu_f = \mu_g $ ならば $ g = f^n $ または $ g = \sigma_f \circ f^n $（$ n \geq 1 $）となる。ここで $ \sigma_f $ はファイバーを置換するMöbius対称性である。
• 反復関係やMöbius共役関係がないにもかかわらず $ \mu_f = \mu_g $ となる非例外的有理型関数 $ f $ と $ g $ が存在し、多項式の場合の直接的な類似は成り立たないことを示した。
• このような例の構成は、$ T \circ R = T \circ S $、$ R \neq \sigma \circ S $、および $ V_T $ が双次数 $ (r,r) $（$ r \geq 2 $）のgenus-0 正規化を持つ三つ組 $ (R, S, T) $ に依存している。
• 例外的写像（例：$ f(z) = z^{d_f} $）に対しては、$ \mu_f = \mu_g $ であっても $ f^n = g^m $ とは限らず、両方の周期点集合が無限大であっても異なることがある。
• 本稿では、$ \mu_f = \mu_g $、$ \operatorname{Per}(f) \cap \operatorname{Per}(g) \neq \emptyset $、および $ \mu_f $-ほとんど everywhere の力学的性質が成り立つ場合、弱い条件下でも $ f $ と $ g $ が可換であることを証明した。