[論文レビュー] Rational $G$-spectra for profinite $G$

Danny Sugrue|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$G$ がプロファイニット群である場合の有理 $G$-スペクトルの代数的モデルを、$G$ の閉部分群の空間 $SG$ 上の Weyl-$G$-層の $
\mathbb{Q}$-加群の複体を用いて構築する。主な貢献は、この圏の射影次元—したがって有理 $G$-Mackey関手の射影次元—が $SG$ のカントール＝ベンディクソンランクによって決定されることを示したことである。$SG$ が散乱的かつ有限ランクであるとき、射影次元は $\operatorname{CB\text{-}rank}(SG) - 1$ に等しく、それ以外の場合は無限大である。

ABSTRACT

In this thesis we will investigate rational G-spectra for a profinite group G. We will provide an algebraic model for this model category whose injective dimension can be calculated in terms of the Cantor-Bendixson rank of the space of closed subgroups of G, denoted SG. The algebraic model we consider is chain complexes of Weyl-G-sheaves of rational vector spaces over the spaces. The key step in proving that this is an algebraic model for G-spectra is in proving that the category of rational G-Mackey functors is equivalent to Weyl-G-sheaves. In addition to the fact that this sheaf description utilises the topology of G and the closed subgroups of G in a more explicit way than Mackey functors do, we can also calculate the injective dimension. In the final part of the thesis we will see that the injective dimension of the category of Weyl-G-sheaves can be calculated in terms of the Cantor-Bendixson rank of SG, hence giving the injective dimension of the category of Mackey functors via the earlier equivalence.

研究の動機と目的

• $G$ がプロファイニット群であるとき、有理 $G$-スペクトルのホモトピー圏の代数的モデルを構築すること。
• 有理 $G$-Mackey関手を $G$ の閉部分群の空間 $SG$ 上の層的構造を用いて特徴付けること。
• $SG$ の位相的不変量、特にそのカントール＝ベンディクソンランクを用いて、有理 $G$-Mackey関手の圏の射影次元を計算すること。
• 有理 $G$-Mackey関手と $\mathbb{Q}$-加群の Weyl-$G$-層の間の同値を確立し、ホモロジー代数的手法を可能にすること。

提案手法

• 有理 $G$-Mackey関手の圏と $SG$ 上の $\mathbb{Q}$-加群の Weyl-$G$-層の圏との同値を構築すること。
• $G$-可換な Godement分解を用いて、$\mathbb{Q}$-加群の $G$-層の射影分解を計算すること。
• $SG$ というプロファイニット $G$-空間のカントール＝ベンディクソンランクを位相的不変量として定義し、層の圏の射影次元の上限を求める。
• $SG$ が散乱的かつ有限ランクであるとき、$SG$ 上の Weyl-$G$-層の射影次元が $\operatorname{CB\text{-}rank}(SG) - 1$ に等しいことを証明すること。
• Mackey関手と Weyl-$G$-層の間の同値を用いて、射影次元の結果を有理 $G$-Mackey関手の圏に移すこと。
• Burnside環の構造とそのイデアルの性質を用いて、Mackey関手の分解を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロファイニット群 $G$ の有理 $G$-スペクトルを、層的構造を用いてどのように代数的にモデル化できるか？
• RQ2 有理 $G$-Mackey関手の圏の射影次元は何か？ そして $SG$ の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ3 有理 $G$-Mackey関手の圏は、$SG$ 上の層の圏として同値に記述できるか？
• RQ4 $SG$ のカントール＝ベンディクソンランクが、有理 $G$-スペクトルのホモロジー的性質をどのように制御するか？
• RQ5 プロファイニット群 $G$ に対して、$SG$ 上の $G$-可換な $\mathbb{Q}$-加群の層の射影次元は何か？

主な発見

• 有理 $G$-Mackey関手の圏は、$SG$ 上の $\mathbb{Q}$-加群の Weyl-$G$-層の圏と同値であり、Mackey関手の層的記述を提供する。
• $SG$ が散乱的かつ有限カントール＝ベンディクソンランクであるとき、$SG$ 上の $\mathbb{Q}$-加群の Weyl-$G$-層の圏の射影次元は $\operatorname{CB\text{-}rank}(SG) - 1$ に等しい。
• $SG$ が無限大のカントール＝ベンディクソンランクを持つ場合、$SG$ 上の Weyl-$G$-層の射影次元は無限大である。
• $G = \mathbb{Z}_p$ の場合、$SG$ のカントール＝ベンディクソンランクは 2 であるため、有理 $G$-スペクトルの代数的モデルの射影次元は 1 である。
• 有限群 $G$ の場合、$SG$ は離散的かつ有限であるため、$\operatorname{CB\text{-}rank}(SG) = 1$ であり、代数的モデルの射影次元は 0 である。
• $G = \prod_{i=1}^n \mathbb{Z}_{p_i}$ の場合、$SG$ のカントール＝ベンディクソンランクは $n+1$ であるため、代数的モデルの射影次元は $n$ である。