[論文レビュー] Rational homotopy of complex projective varieties with normal isolated singularities

David Chataur, Joana Cirici|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、混合Hodge理論と乗法的重みスペクトル系列を用いて、各特異点のリンクが (n−2)-連結であるとき、正則な孤立特異点をもつ複素射影的代数多様体が形式的位相空間であることを確立する。主な結果は、滑らかまたはケähler的でない多様体に対しても形式的性を一般化し、特異点が孤立する超曲面や完備交叉を含む。

ABSTRACT

Let X be a complex projective variety of dimension n with only isolated normal singularities. In this paper we prove, using mixed Hodge theory, that if the link of each singular point of X is (n-2)-connected, then X is a formal topological space. This result applies to a large class of examples, such as normal surface singularities, varieties with ordinary multiple points, hypersurfaces with isolated singularities and more generally, complete intersections with isolated singularities. We obtain analogous results for contractions of subvarieties.

研究の動機と目的

• 有理ホモトピー論における形式的性の概念を、特異点をもつ複素射影的代数多様体へと拡張すること。
• 特異点の位相的条件（特に (n−2)-連結なリンク）が形式的性を保証する十分条件を同定すること。
• 滑らかな射影的多様体から特異な多様体へと古典的形式的性の結果を混合Hodge理論を用いて一般化すること。
• 部分多様体の収縮、たとえば滑らかな射影的多様体の閉埋め込み Y↪X に対する X/Y の文脈で形式的性を研究すること。
• 特異代数幾何における重みフィルトレーションの純粋性と有理ホモトピー的形式的性を結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• 特異射影的多様体の有理ホモトピー型を計算するための道具として、乗法的重みスペクトル系列を用いる。
• モーガンおよびチリシ＝ギリエンの結果を応用し、有理ホモトピー型と重みスペクトル系列の E1 項との関係を確立する。
• 混合Hodge理論を用いて、特に純粋性条件に注目して、コホモロジー上の重みフィルトレーションを分析する。
• 重みフィルトレーションが次数 k まで純粋であることは、k 次まで形式的性が成り立つことを意味し、これが重要な技術的ブリッジを形成する。
• 商空間 X/Y のマーヤー＝ビートリス系列を解析し、コホモロジー的構造と重みフィルトレーションの振る舞いを研究する。
• 重みスペクトル系列の E1 項から E2 項への準同型が、純粋性条件下で乗法的であることを示し、これにより形式的性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点のリンクにどのような位相的条件が満たされると、正則な特異点をもつ複素射影的多様体が形式的となるか？
• RQ2 特異代数的多様体における重みフィルトレーションの純粋性は、有理ホモトピー的形式的性とどのように関係するか？
• RQ3 形式的性は、滑らかな射影的多様体 Y↪X に対する商 X/Y へと拡張可能か？
• RQ4 特異点が孤立する超曲面や完備交叉は、どの程度形式的性を満たすか？
• RQ5 重みスペクトル系列の乗法的構造は、有理ホモトピー型を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 複素射影的多様体 X（次元 n）が正則な孤立特異点をもち、各特異点のリンクが (n−2)-連結であるならば、X は形式的位相空間である。
• すべての正則な複素射影的曲面は形式的である。なぜなら、その特異点のリンクは (n−2)=0 連結（つまり連結）であるため、条件を満たすからである。
• 特異点が孤立する完備交叉は形式的である。標準的な代数幾何学的性質により、そのリンクは (n−2)-連結である。
• X が正則な孤立特異点をもち、滑らかな特異被覆を持つ解体をもつならば、X は形式的である。
• 滑らかな射影的多様体の閉埋め込み Y↪X に対して、商 X/Y は形式的位相空間である。
• 乗法的重みスペクトル系列は、X/Y の有理ホモトピー型に対する明示的なモデルを提供する。また、純粋性条件下で E1 で退化するならば、形式的性が保証される。