[論文レビュー] Rational jet dependence of formal equivalences between real-analytic hypersurfaces in \C^2

R. Travis Kowalski|ArXiv.org|Aug 24, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ℂ² 内の 1-無限型点を持つ実解析的超曲面間の形式的 biholomorphic 同値が、有限で明示的に有界された次数のジェットによって完全に決定されることを確立する。主な結果は、このような同値がジェットによって有理的パラメトライズされ、全写像がそのジェットデータの有理関数であることを示しており、ジェット空間における有限決定性と代数的構造をもたらす。

ABSTRACT

Let (M,p) and (M',p') be the germs of real-analytic 1-infinite type hypersurfaces in \C^2. We prove that any formal equivalence sending (M,p) into (M',p') is formally parametrized (and hence uniquely determined by) its jet at p of a predetermined order depending only on (M,p). As an application, we use this to examine the local formal transformation groups of such hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 点の近傍で最小でない実解析的超曲面間の形式的 biholomorphic 同値の有限ジェット決定問題を調査すること。
• 超曲面がその点を通る複素曲線を含んでも、このような同値が有限次数のジェットによって一意に決定されることを確立すること。
• 形式的同値のジェット空間の構造を分析し、それが実代数的部分多様体をなすことを示すこと。
• すべてのこのような同値をパラメトライズするのに必要な最小ジェット次数を決定する構成的技法を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、超曲面の定義関数を、Θ が z および z̄ に関して少なくとも2次に消失する実解析的関数である形で、Im w = Θ(z, z̄, Re w) と表す正規座標を用いる。
• 形式的写像のジェット空間を分析する際、写像の成分を、ヤコビアン行列式から得られる多項式および分母項を含むジェット変数の有理関数として表現する。
• 写像が定義関数を単位因子を除いて保存するという条件から導かれる再帰的関係に依拠し、ジェットデータに対して有理的依存性が生じることを示す。
• べき級数展開における単項式の次数と定義関数 Θ の構造を分析することで、必要なジェット次数の上限を求める。
• ヤコビアン行列式が非ゼロであり、有理的パラメトライズーションの分母として現れることにより、可逆性が保証されることを用いる。
• 定義関数と写像のジェットデータから得られる多項方程式により、形式的同値のジェット空間が実代数的部分多様体であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ² 内の 1-無限型超曲面間の形式的 biholomorphic 同値は、その点における導関数の有限ジェットによって決定可能か？
• RQ2 形式的同値のジェットから全写像への写像が、ジェット変数に関して有理関数か？
• RQ3 このような同値を一意に決定するのに必要な最小ジェット次数は何か？
• RQ4 ジェット空間における形式的同値のジェット集合の幾何的構造は何か？
• RQ5 超曲面に複素曲線が存在する場合、有限ジェット決定性の性質にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ℂ² 内の 1-無限型超曲面間の任意の形式的同値は、その点における有限次数 k のジェットによって一意に決定され、k はソース超曲面にのみ依存する。
• 全形式的写像は、そのジェットデータの有理関数であり、係数はジェット変数の多項式で、分母はその点における写像のヤコビアン行列式である。
• 形式的同値の空間からジェット空間へのジェット写像は単射であり、その像は可逆写像のジェット空間内の実代数的部分多様体である。
• 1-無限型超曲面の局所自己同型群は、可逆写像のジェット空間内の実代数的 Lie 部分群である。
• ターゲット超曲面への同値のジェット写像の像は、自己同型群のジェット像のコセットであるため、同様に実代数的部分多様体である。
• 最小ジェット次数 k に対する構成的上限が k = 1 + δ_K^1 + max 𝒟 として与えられ、定義関数に Re w の線形項を超えて高次項が存在しない場合には、より単純な上限 k = 1 が得られる。