[論文レビュー] Rational Normal Scrolls and the Defining Equations of Rees Algebras

Andrew R. Kustin, Claudia Polini+1 more|ArXiv.org|Dec 29, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、多項式環 $k[x,y]$ 内の高さ2のイデアルのリース代数の定義イデアルの明示的生成集合を提供する。このイデアルは、$m$ 個の同次形式（次数 $d$）で最小生成され、その提示行列のうち、1つの列の成分が次数 $n$、他のすべての列が一次である。有理正規スクリューブの斉次座標環を用いて、単項式イデアルと一般化されたエーゲン＝ノースコット複体を介し、リース代数およびその冪を、コhen＝マカウレイ性を仮定しない形で解体する。これにより、定義方程式およびベッチ数の閉形式の公式が得られる。

ABSTRACT

Consider a height two ideal, $I$, which is minimally generated by $m$ homogeneous forms of degree $d$ in the polynomial ring $R=k[x,y]$. Suppose that one column in the homogeneous presenting matrix $\f$ of $I$ has entries of degree $n$ and all of the other entries of $\f$ are linear. We identify an explicit generating set for the ideal $\Cal A$ which defines the Rees algebra $\Cal R=R[It]$; so $\Cal R=S/\Cal A$ for the polynomial ring $S=R[T_1,...,T_m]$. We resolve $\Cal R$ as an $S$-module and $I^s$ as an $R$-module, for all powers $s$. The proof uses the homogeneous coordinate ring, $A=S/H$, of a rational normal scroll, with $H\subseteq \Cal A$. The ideal $\Cal AA$ is isomorphic to the $n^{ ext{th}}$ symbolic power of a height one prime ideal $K$ of $A$. The ideal $K^{(n)}$ is generated by monomials. Whenever possible, we study $A/K^{(n)}$ in place of $A/\Cal AA$ because the generators of $K^{(n)}$ are much less complicated then the generators of $\Cal AA$. We obtain a filtration of $K^{(n)}$ in which the factors are polynomial rings, hypersurface rings, or modules resolved by generalized Eagon-Northcott complexes. The generators of $I$ parameterize an algebraic curve $\Cal C$ in projective $m-1$ space. The defining equations of the special fiber ring $\Cal R/(x,y)\Cal R$ yield a solution of the implicitization problem for $\Cal C$.

研究の動機と目的

• $k[x,y]$ 内の高さ2のイデアルのリース代数の定義方程式を、提示行列に1つの非線形列を含む場合に特定すること。
• コhen＝マカウレイ性を仮定しない形で、リース代数およびその冪を多項式環上の加群として解体すること。
• 対称代数を、定義イデアルの研究を簡素化する正規整域（有理正規スクリューブの斉次座標環）で置き換えること。
• リース代数およびその冪の定義方程式およびベッチ数の閉形式の公式を提供すること。
• 生成元によってパラメトライズされる曲線の暗黙的化問題を、特別ファイバー環を用いて解くこと。

提案手法

• 有理正規スクリューブの斉次座標環 $A = S/H$ を、正規整域である対称代数の代わりに用いる。
• 写像 $A \to \mathcal{R}(I)$ の核 $\mathcal{A}A$ を、$A$ 内の高さ1の素イデアル $K$ の $n^{\text{th}}$ 保存的冪 $K^{(n)}$ と同型であると特定し、これは単項式生成である。
• 因子が多項式環、超曲面環、または一般化されたエーゲン＝ノースコット複体によって解体されるような $K^{(n)}$ のフィルトレーションを構成する。
• 単項式構造を活用し、同型 $\mathcal{A}A \cong K^{(n)}$ を介して、複雑な行列式法を避けて $\mathcal{R}(I)$ の定義方程式を計算する。
• ヒルベルト関数と自由加群のヒルベルト関数の比較を用い、補題 \tnum{L19.14} を用いて最小自由分解を再構成する。
• 有理正規スクリューブ上の除数論を応用し、$\mathcal{A}A$ の除数類を記述し、明示的分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $I$ が $k[x,y]$ 内でほぼ線形提示であるとき、リース代数 $\mathcal{R}(I)$ の定義イデアル $\mathcal{A}$ の明示的生成集合は何か？
• RQ2 コhen＝マカウレイ性を仮定しない形で、リース代数 $\mathcal{R}(I)$ 及びその冪 $I^s$ を多項式環上の加群としてどのように解体できるか？
• RQ3 対称代数を、リース代数の定義イデアルの研究を簡素化する正規整域に置き換えられるか？
• RQ4 特別ファイバー環 $\mathcal{R}(I)/(x,y)\mathcal{R}(I)$ の構造は何か？ そして、これは $I$ によってパラメトライズされる曲線の暗黙的化問題をどのように解くか？
• RQ5 $I^s$ のベッチ数および正則性は何か？ また、これらは提示行列の列の次数にどのように依存するか？

主な発見

• リース代数 $\mathcal{R}(I)$ の定義イデアル $\mathcal{A}$ は、有理正規スクリューブの斉次座標環内の高さ1の素イデアル $K$ の $n^{\text{th}}$ 保存的冪 $K^{(n)}$ の単項式生成元の引き戻しによって生成される。
• リース代数 $\mathcal{R}(I)$ は、因子が一般化されたエーゲン＝ノースコット複体によって解体される $K^{(n)}$ のフィルトレーションを介して $S$-加群として解体される。
• 最小同次分解 $I^s$ は、$I^s$ の提示行列における非線形列の数 $a = \lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil$ によって完全に決定され、ベッチ数は $a$, $s$, $d$, $n$ を用いて明示的に与えられる。
• 正則性 $\operatorname{reg}(I^s)$ は、$\rho = 1$ のとき $sd + n - 1$ であり、$\rho = 2$ のとき $s \geq \lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil + 1$ ならば $sd$ に等しく、等号成立は $I^s = (x,y)^{sd}$ のときに限り成立する。
• 特別ファイバー環 $\mathcal{F}(I)$ の予想数は、$\rho = 2$ のとき $\lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil$、$\rho = 1$ のとき $\lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil - 1$ であり、ヒルベルト多項式とヒルベルト関数の比較から導出される。
• イデアル $\mathcal{A}$ は、$I^s$ の提示行列の最大小行列式によって生成され、定義方程式の次数は $sd + \binom{a}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) + (s-1)\sigma_2 a - na$ である。