[論文レビュー] Rational points near curves and small nonzero |x^3-y^2| via lattice reduction

Noam D. Elkies|ArXiv.org|May 14, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、代数的曲線の近傍に有理点を効率的に計算するための新しい格子還元に基づくアルゴリズムを提示する。特に、|x³ − y²| が小さい非ゼロ値をとる場合、ホール予想に関連する。線形近似と格子還元を活用することで、x ≤ X となるすべての解を発見するためのヒューリスティック時間計算量 O(X¹/² log^O(1) X) を達成し、x¹/² / |x³ − y²| = 46.60 の新たな記録を樹立。これは従来の境界を著しく上回る。

ABSTRACT

We give a new algorithm using linear approximation and lattice reduction to efficiently calculate all rational points of small height near a given plane curve C. For instance, when C is the Fermat cubic, we find all integer solutions of |x^3+y^3-z^3|>N, using only O(log N) space. Since the number of solutions should be asymptotically proportional to M log N (as long as M

研究の動機と目的

• 平面上の曲線の近くに高さが小さい有理点を効率的に特定するアルゴリズムの開発。特にディオファントス方程式の整数解に近い点を対象とする。
• ホール予想に対処するため、x ≤ X かつ 0 < |x³ − y²| ≪ x¹/² を満たすすべての整数解を、超指数的時間未満で計算する。
• |x³ − y²| の小さな値を求めるための計算的境界を改善し、x¹/² / |x³ − y²| の比において、以前の記録を上回ることを目的とする。
• アルゴリズムの厳密な時間計算量を用いて、任意の有理数 c に対して (cx)³/² の 1 を法とする分布に関する新たな結果を証明する。
• この手法を高次元多様体および非代数的解析的曲線へ一般化し、有理点の希少性に関する理論的結果を得ることを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、曲線の近くに有理点を見つける問題を、高次元空間における格子還元問題に写像するために線形近似を用いる。
• |x³ − y²| < δ を満たす解の探索を、曲線のパrametrization から導かれる格子における短いベクトルの探索問題に変換する。
• 格子基底還元（例：LLLアルゴリズム）を用いて、|x³ − y²| が絶対値で小さいような候補の整数解 (x, y) を効率的に特定する。
• 探索空間を独立した部分問題に分割することで、自然な並列化が可能となり、メモリ使用量を O(log N) に削減する。
• ホール予想の文脈では、曲線 y² = x³ + k の構造を活用し、(cx)³/² の有理近似を用いて、O(X¹/² log^O(1) X) 時間で探索を制限する。
• ディオファントス近似理論を用いて、候補となる格子ベクトルの数をバウンドすることで、時間計算量を厳密に証明する（ヒューリスティックではなく）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた平面上の曲線の近くに、ブルートフォースな全列挙よりも効率的に高さが小さい有理点を計算できるか？
• RQ2 x ≤ 10¹⁸ の範囲で |x³ − y²| の最小値は何か？ また、x¹/² / |x³ − y²| > 46 を満たす解を見つけることができるか？
• RQ3 格子還元技術を用いて、正の有理数 c に対して (cx)³/² の 1 を法とする分布に関する新たな結果を証明できるか？
• RQ4 x ≤ X かつ |x³ − y²| < x¹/² を満たすすべての解を O(X¹/² log^O(1) X) 時間で発見できるか？ これは従来の手法と比べてどう異なるか？
• RQ5 このアルゴリズムを、高次元多様体や非代数的曲線における有理点の探索に一般化できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、x ≤ 10¹⁸ かつ 0 < |x³ − y²| < x¹/² を満たすすべての解を O(X¹/² log^O(1) X) 時間で計算し、メモリ使用量は O(log X) に留める。
• x = 5,853,886,516,781,223 および |x³ − y²| = 1,641,843 の場合、比 r = x¹/² / |x³ − y²| = 46.60 の新たな記録を樹立。これは従来の記録をほぼ10倍改善した。
• x < 10¹⁸ かつ |x³ − y²| < ½√x を満たす25個の解を発見。そのうち13個は以前に知られていず、GPZリストにも含まれていなかった。
• アルゴリズムの時間計算量は厳密に証明されており、任意の正の有理数 c に対して (cx)³/² の 1 を法とする分布に関する新たな定理を導出する。
• |x³ − y²| < Cx かつ x ≤ X を満たす解の数は O(X¹/² log X) でバウンドされ、任意の θ ∈ (0,1) に対して区間 [θX, X] に Ω(X¹/²) 個の解が存在する。
• また、n > 2 に対して |zⁿ − yⁿ − xⁿ| が小さい多項式族を新たに発見し、1000未満のいくつかの整数 d について、3つの整数の立方和として初めて表現可能な例を提供した。