[論文レビュー] Rational points near self-similar sets

Han Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己相似測度のフーリエ減衰を分析することで、自己相似集合の周囲における有理点の等分布性を確立し、中間$ p $番目のカントール測度に対する収束型のカインチンの定理を証明する。$ p \geq 15 $ の場合、予想A（$ K \cap W_{>1} $ の次元が $\dim_{\mathrm{H}}K$ に等しい）を確認し、予想Bの一部を検証する。数値的証拠により、$ p > 10^7 $ が十分であり、$ p \geq 15 $ が大多数の結果に対して十分であることが示されている。

ABSTRACT

In this paper, we consider a problem of counting rational points near self-similar sets. Let $n\geq 1$ be an integer. We shall show that for some self-similar measures on $\mathbb{R}^n$, the set of rational points $\mathbb{Q}^n$ is 'equidistributed' in a sense that will be introduced in this paper. This implies that an inhomogeneous Khinchine convergence type result can be proved for those measures. In particular, for $n=1$ and large enough integers $p,$ the above holds for the middle-$p$th Cantor measure, i.e. the natural Hausdorff measure on the set of numbers whose base $p$ expansions do not have digit $[(p-1)/2].$ Furthermore, we partially proved a conjecture of Bugeaud and Durand for the middle-$p$th Cantor set and this also answers a question posed by Levesley, Salp and Velani. Our method includes a fine analysis of the Fourier coefficients of self-similar measures together with an Erdős-Kahane type argument. We will also provide a numerical argument to show that $p>10^7$ is sufficient for the above conclusions. In fact, $p\geq 15$ is already enough for most of the above conclusions.

研究の動機と目的

• 欠落桁集合とよく近似可能な数の交わりの次元に関する長年の予想を解決すること。
• 特に中間$ p $番目のカントール測度に対して、$ \mathbb{R}^n $ 上の自己相似測度に対する収束型のカインチンの定理を確立すること。
• フーリエ解析とエルデシュ＝カハーヌの議論を用いて、自己相似測度に関して有理点の等分布性を示すこと。
• $ p \geq 15 $ が主要な結果に十分であるという数値的証拠を提供すること。これにより、以前の境界を改善する。

提案手法

• 有理近似に関する指数和を制御するため、自己相似測度の $ L^1 $-フーリエ減衰を分析する。
• $ L^2 $-型の推定を点ごとの等分布結果に移すために、エルデシュ＝カハーヌ型の議論を適用する。
• 適切に選んだ列 $ Q_j = [e^{j\lambda}] $ を用いた修正版ボレル＝カンテーリの補題を用い、正の測度の上限集合を示す。
• 滑らかな特性関数の近似を用いて、指数和の $ L^1 $-ノルムをフーリエ係数によって抑え込む。
• 測度の制御を可能にする重要な推定 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$ を確立（$ k \leq Q^{1-c} $ の場合）。
• すべての測度の分岐に対して一様性の議論を適用し、正の測度の結果から全測度の結果に高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな $ p $ に対して、非常によく近似可能な数の集合が中間$ p $番目のカントール集合と交わるとき、そのハウスドルフ次元は全次元であるか？
• RQ2 非一様減衰を示す自己相似測度に対して、カインチンの定理の収束部分を拡張できるか？
• RQ3 欠落桁集合に対して、$ K \cap W_{>1} $ のハウスドルフ次元は $\dim_{\mathrm{H}}K$ に等しいか？
• RQ4 有理点の測度論的等分布性が成り立つための $ p $ の鋭い閾値は何か？
• RQ5 自己相似測度のフーリエ減衰を用いて、測度論的ディオファントス近似の結果を導けるか？

主な発見

• $ p = 15 $ の場合、予想A（Levesley, Salp, Velani）が成立：$\dim_{\mathrm{H}}(K_{15} \cap W_{>1}) = \dim_{\mathrm{H}}K_{15}$。
• 予想C（Kleinbock-Lindenstrauss-Weiss）の収束部分が $\mu_{15}$ に対して成立：$\sum_q \psi(q) < \infty$ ならば $\mu_{15}(W(\psi)) = 0$。
• $ p \geq 15 $ の場合、測度 $\mu_p$ はカインチンの定理の収束部分を満たし、自己相似測度のクラスに結果を拡張する。
• 数値的解析により、主な結論が得られるためには $ p > 10^7 $ が十分であるが、$ p \geq 15 $ であれば大多数の結果に対して十分であることが判明。
• 本稿では重要な推定 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$ を証明し、全測度の結果を得るボレル＝カンテーリの議論を可能にする。
• 本手法により、有理点の $\delta$-近傍の $\mu$-測度が、適切な減衰条件のもとでルベーグ測度と同様に振る舞う、という意味で有理点の等分布性が確立される。