[論文レビュー] Rational points on certain hyperelliptic curves over finite fields

Maciej Ulas|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ g_1(x) = x^n + ax + b $ および $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $（$ ab \neq 0 $）に対して、$ u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $（$ i=1,2 $）で定義される超曲面上に有理曲線を構成する。これらの曲線と Woestijne のアルゴリズムを用いることで、有限体上での超楕円曲線 $ y^2 = g_i(x) $ に対する非自明な有理点を決定的多項式時間で構成可能となる。

ABSTRACT

Let $K$ be a field, $a, b\in K$ and $ab eq 0$. Let us consider the polynomials $g_{1}(x)=x^n+ax+b, g_{2}(x)=x^n+ax^2+bx$, where $n$ is a fixed positive integer. In this paper we show that for each $k\geq 2$ the hypersurface given by the equation \begin{equation*} S_{k}^{i}: u^2=\prod_{j=1}^{k}g_{i}(x_{j}),\quad i=1, 2. \end{equation*} contains a rational curve. Using the above and Woestijne's recent results \cite{Woe} we show how one can construct a rational point different from the point at infinity on the curves $C_{i}:y^2=g_{i}(x), (i=1, 2)$ defined over a finite field, in polynomial time.

研究の動機と目的

• 有限体上での超楕円曲線に対する有理点を効率的に構成するという未解決問題に取り組むこと。特に、Schoof 型のアルゴリズムでは群の位数は計算可能だが、具体的な点が得られない場合を想定する。
• 楕円曲線に関する先行研究を、$ y^2 = x^n + ax + b $ および $ y^2 = x^n + ax^2 + bx $ の形の高(genus)の超楕円曲線へと拡張すること。
• すべての $ k \geq 2 $ に対して、$ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ の超曲面上に有理曲線が存在することを確立し、アルゴリズム的点構成を可能にする。
• 有理パラメトライゼーションと体論的道具を用いて、有限体上での $ C_i: y^2 = g_i(x) $ に対して非無限遠有理点を決定的・多項式時間で計算する手法を提供すること。

提案手法

• $ u^2 = g_1(X_1)g_1(X_2)g_1(X_3) $ を満たす $ t, u $ に関する非定数の有理関数 $ X_1(t,u), X_2(t,u), X_3(t,u) $ を構成し、$ S_3^1 $ 上の有理曲線を形成する。
• $ \mathbb{F}_q^* $ が巡回群であることを利用し、Woestijne の決定的 $ n $ 乗根抽出アルゴリズムを適用することで、$ \mathbb{F}_q $ 上での $ n $ 乗根を効率的に計算可能となる。
• パラメトライゼーションを用いて、十分に大きな $ q $ に対して、少なくとも一つの $ g_1(X_j(t,u)) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で平方剰余であることを示し、これにより $ C_1 $ 上の有理点が得られることを示す。
• $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $ に対しても同様の構成を適応し、すべての $ k \geq 2 $ に対して $ S_k^2 $ 上に有理曲線が存在することを示す。
• 超曲面上の有理曲線の理論を用いて、$ C_i $ 上の有理点の探索問題を $ \mathbb{F}_q $ 上の有理方程式の連立系の解法に還元する。
• パラメトライゼーションにおける分母 $ D(t,u) $ の構造を活用し、特異点の数を評価し、$ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 内に有効な $ (t,u) $ 組が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ k \geq 2 $ に対して、$ g_i(x) = x^n + ax + b $ または $ g_i(x) = x^n + ax^2 + bx $（$ ab \neq 0 $）であるとき、超曲面 $ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ は有理曲線を含むか？
• RQ2 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上で、曲線の式のみが与えられた場合に、$ C_i: y^2 = g_i(x) $ 上の非自明な有理点を多項式時間で計算可能か？
• RQ3 非平方元や確率的平方根抽出を必要としない、決定的かつ効率的なアルゴリズムにより、$ C_i $ 上の有理点を計算可能か？
• RQ4 固定された多項式 $ g \in \mathbb{Z}[x] $ に対して、$ S_k: u^2 = \prod_{j=1}^k g(x_j) $ が $ u \neq 0 $ を満たす無限個の有理点を含むような $ k \geq 2 $ が存在するか？
• RQ5 $ g $ と $ k $ にどのような条件下で、超曲面 $ S_k $ が $ \mathbb{C} $ 上に有理曲線を含み、これが数体上での有理点の密度を示唆するか？

主な発見

• すべての $ k \geq 2 $ に対して、$ g_1(x) = x^n + ax + b $（$ ab \neq 0 $）である超曲面 $ S_k^1: u^2 = \prod_{j=1}^k g_1(x_j) $ は、十分に大きな $ q $ に対して $ \mathbb{F}_q $ 上に定義された有理曲線を含む。
• 構成により、分母 $ D(t,u) \neq 0 $ を満たす有効なパrameter 組 $ (t,u) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ が少なくとも $ (q - n)(q - 2(n-1) + 1) $ 個存在することが保証される。
• $ q > 2(n-1) - 1 $ のとき、$ \{1,2,3\} $ のある $ j $ に対して $ g_1(X_j(t,u)) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で平方剰余であることが保証され、これにより明示的な平方根抽出が可能となる。
• Woestijne の決定的 $ n $ 乗根アルゴリズムを用いることで、有理曲線パラメトライゼーションから $ C_1: y^2 = g_1(x) $ 上の有理点を多項式時間で計算可能となる。
• $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $ の場合にも同様の結果が成り立ち、すべての $ k \geq 2 $ に対して $ S_k^2 $ が有理曲線を含むことが示され、$ C_2 $ 上の点の多項式時間構成が可能となる。
• $ \Phi: T \to C $ を $ \Phi(t,u) = (X_j(t,u), \sqrt{g_1(X_j(t,u))}) $ で定義すると、$ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ の大きな部分集合 $ T \subset $ でこの写像は定義可能であり、全射性の可能性を示唆する。