[論文レビュー] Rational points on some Fano cubic bundles

Victor V. Batyrev, Yuri Tschinkel|ArXiv.org|Feb 17, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、Fano立方体バンドル $X_{n+2} \subset \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^3$ の有理点の有界反標準高さに関する下界を確立し、$n \geq 3$ の場合、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ を含む体 $F$ に対して、任意の非空なザリスキ開部分集合における $F$-有理点の数が $cB(\log B)^3$ 以上で増加することを示しており、これはマニン予想の予想とは矛盾する。

ABSTRACT

We consider some families of smooth Fano hypersurfaces $X_{n+2}$ in ${\bf P}^{n+2} imes {\bf P}^3$ given by a homogeneous polynomial of bidegree $(1,3)$. For these varieties we obtain lower bounds for the number of $F$-rational points of bounded anticanonical height in arbitrary nonempty Zariski open subset $U \subset X_{n+2}$. These bounds contradict previous expectations about the distribution of $F$-rational points of bounded height on Fano varieties.

研究の動機と目的

• 数体上に定義されたFano立方体バンドルにおける、有界反標準高さの有理点の分布を調査すること。
• トーリックでもフラッグ多様体でもないFano多様体のクラスに対して、マニン予想の妥当性を検証すること。
• 有理点の数の予想される漸近的増加 $cB(\log B)^{t-1}$ が、これらのケースでも成り立つかどうかを特定すること。
• 高さ関数を用いて点数の下界を導くために、ファイブレーションおよびファイバーの幾何学を分析すること。
• 標準的予想よりも速く有理点の数が増加する条件を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、$\sum_{i=0}^3 l_i(\mathbf{x}) y_i^3 = 0$ で定義される $X_{n+2} \subset \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^3$ のFano超曲面を研究する。ここで $l_i$ は $x_0,\dots,x_n$ に関する一次形式である。
• 彼らは射影 $\pi: X_{n+2} \to \mathbb{P}^n$ を用い、$l_i(\mathbf{x})$ が非ゼロであるようなザリスキ開部分集合 $U_P \subset \mathbb{P}^n$ 上のファイバーを分析する。
• 各ファイバーは $\mathbb{P}^3$ 内の滑らかな対角的立方曲面であり、その有理点の高さの増加は $cB(\log B)^3$ であることが知られている。
• 彼らは、有限被覆 $\varphi: \mathbb{P}^3 \to \mathbb{P}^3$, $\varphi(z) = (z_0^3: \dots : z_3^3)$ を介して、$\mathbb{P}^n$ からの有理点を引き上げることで、$X_{n+2}$ 上の有理点を構成する。
• $n \geq 3$ の場合、任意の $F \supset \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ に対して、$X_{n+2}$ の任意の非空な開部分集合 $U \subset X_{n+2}$ における、反標準高さ $\leq B$ の $F$-有理点の数が $N(U, -K_{X_{n+2}}, \gamma, B) \geq cB(\log B)^3$ を満たすことを示している。
• $n=2$ および $n=1$ の場合、有限体拡張 $F_0$ を介して同様の下界を証明しているが、$F_0$ は多様体または開集合に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano立方体バンドルにおける有界反標準高さの有理点の数は、マニン予想が予測するように増加するか？
• RQ2 トーリックでもフラッグ多様体でもないFano多様体において、標準的漸近式 $cB(\log B)^{t-1}$ が破られる可能性はあるか？
• RQ3 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ は、これらのファイブレーション上での有理点の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 ファイバーおよび射影写像の幾何学的性質は、点の分布にどのように影響するか？
• RQ5 有限被覆を介して、底空間から引き上げることで、全空間上の有理点を構成できるか？

主な発見

• $n \geq 3$ の場合、任意の非空なザリスキ開部分集合 $U \subset X_{n+2}$ における、反標準高さ $\leq B$ の $F$-有理点の数は、$F \supset \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ であれば、すべての $B > 0$ およびある $c > 0$ に対して $N(U, -K_{X_{n+2}}, \gamma, B) \geq cB(\log B)^3$ を満たす。
• $n = 2$ の場合、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の有限拡張 $F_0$ を含む任意の $F$ に対して、このような下界が成り立つ。ただし $F_0$ は $X_{n+2}$ のみに依存する。
• $n = 1$ の場合、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の有限拡張 $F_0$ を含む任意の $F$ に対して、下界が成り立つが、$F_0$ は開部分集合 $U$ に依存する。
• 増加率 $cB(\log B)^3$ は、マニン予想の予想と矛盾する。マニン予想は $t = \text{rank Pic}(X_{n+2}) = 2$ であるため $t-1 = 1$ と予想しており、ここでは指数が 3 である。
• この結果により、マニン予想はこのクラスのFano立方体バンドルに対して成り立たないことが示され、実際の点の増加が予想される次数を上回っている。
• 構成法は、有限被覆 $\varphi(z) = (z_0^3: \dots : z_3^3)$ を介して、底空間 $\mathbb{P}^n$ からの有理点を引き上げることに依存しており、ファイバーが既知の点増加を示す対角的立方曲面であることを保証する。