[論文レビュー] Rational rays and critical portraits of complex polynomials

Jan Kiwi|ArXiv.org|Oct 15, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、すべての周期が引き寄せられる複素多項式について、有理リーマンの完全な組合せ的特徴付けを確立し、このようなリーマンが周期的でないキーニングをもつ臨界ポートレート $\Theta$ から ${\Lambda_{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ として正確に得られることを示している。また、これらのリーマンがジュリア集合の位相を完全に決定すること、およびそれらに対応する多項式がその有理リーマンによって一意に特定されることを証明している。

ABSTRACT

The aim of this work is to describe the equivalence relations in $\Q/\Z$ that arise as the rational lamination of polynomials with all cycles repelling. We also describe where in parameter space one can find a polynomial with all cycles repelling and a given rational lamination. At the same time we derive some consequences that this study has regarding the topology of Julia sets.

研究の動機と目的

• 複素多項式ですべての周期が引き寄せられるものについて、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上のどの同値関係が有理リーマンとして現れるかを特徴付けること。
• すべての周期が引き寄せられるという仮定の下で、ジュリア集合の位相的構造、特にプライム端末インプレッションに焦点を当てて記述すること。
• 与えられた有理リーマンとすべての周期が引き寄せられる多項式がパラメータ空間に位置する場所を特定すること。
• 周期的でないキーニングをもつ臨界ポートレートと、すべての周期が引き寄せられる多項式の有理リーマンとの間の対応関係を確立すること。
• このような多項式がその有理リーマンによって一意に決定されることを証明し、二次力学から高次多項式への結果の拡張を行うこと。

提案手法

• 外部レイトがジュリア集合の同じ点に到達するのを同定する $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上の同値関係としての有理リーマン $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f)$ の概念を用いる。
• 臨界ポートレート $\Theta = \{\Theta_1, \dots, \Theta_m\}$ を、次の3条件を満たす $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の有限部分集合として定義する：サイズが2以上、$|d \cdot \Theta_j| = 1$、互いに分離されており、$\sum(|\Theta_j| - 1) = d - 1$。
• $\Theta$-分離クラスを用いて、$d$ による乗算の記号的力学を用いて $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上の同値関係 $\Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ を構成する。
• 周期的キーニングと周期的でないキーニングをもつ臨界ポートレートを区別し、有理リーマンがすべての周期が引き寄せられる多項式から得られるのは周期的でないキーニングをもつポートレートに限ることを示す。
• 局所的連結性とレイトの到達行動を分析するために、プライム端末インプレッションとヨコツ・パズルを含む位相的および力学的技法を適用する。
• パラメータ空間 $\mathcal{P}_d$ 内での多項式の列の連続性と収束性を用いて、$\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ が成り立つのは、$\Theta$ が周期的でないキーニングをもつとき、かつそのときに限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上の同値関係が、すべての周期が引き寄せられる複素多項式の有理リーマンとして現れるか？
• RQ2 すべての周期が引き寄せられるとき、ジュリア集合の位相は有理リーマンとどのように関係するか？
• RQ3 周期的でないキーニングをもつ臨界ポートレートは、このような有理リーマンの生成に果たす役割は何か？
• RQ4 有理リーマンが、すべての周期が引き寄せられるモニックかつ中心化された多項式の族において、多項式を一意に特定できるか？
• RQ5 パラメータ空間 $\mathcal{P}_d$ のどこに、与えられた有理リーマンとすべての周期が引き寄せられる多項式が存在するか？

主な発見

• 有理リーマン $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f)$ が、すべての周期が引き寄せられ、ジュリア集合が連結な多項式 $f$ から生じるための必要十分条件は、$\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ を満たす周期的でないキーニングをもつ臨界ポートレート $\Theta$ が存在することである。
• このような多項式に対して、すべての周期的および準周期的点でジュリア集合は局所的に連結であり、各点はそのプライム端末インプレッションにおいて一意の点である。
• ジュリア集合が局所的に連結でない場合でも、ジュリア集合に含まれる各点は、少なくとも1つ、高々有限個のプライム端末インプレッションに含まれる。
• 無限の正の軌道を持つ点 $z$ に到達する外部レイトの数は高々 $2^d$ 個であり、十分大きな $n$ に対しては、$f^{\circ n}(z)$ に到達するレイトは高々 $d$ 個である。
• 多項式 $f$ がすべての周期が引き寄せられ、かつ $f \in I_{{\mathcal{C}}_d}(\Theta)$ を満たす臨界ポートレート $\Theta \in \mathcal{A}_d$ であるならば、$\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ であり、$\Theta$ は周期的でないキーニングをもたなければならない。
• 厳密に準周期的引数からなる臨界ポートレート $\Theta$ に対して、臨界ポートレートインプレッション $I_{{\mathcal{C}}_d}(\Theta)$ にはちょうど1つの多項式が含まれており、それは臨界的に準周期的であり、$\Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ によって一意に決定される。