[論文レビュー] Rational self-homotopy equivalences and Whitehead exact sequence

Mahmoud Benkhalifa|ArXiv.org|May 9, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有理ホモトピー群の自己同型群と、有理自己ホモトピー同値群の商群の間の正確な同型を確立する。最小サリバンモデルからホワイトヘッド完全系列を構成することで、$\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X) \cong \mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を証明し、有理空間に対してこの群を明示的に計算する。その結果、$n \leq 10$ のとき $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ が自己ホモトピー同値群として実現可能であることが示された。

ABSTRACT

For a simply connected CW-complex $X$, let $\mathcal{E}(X)$ denote the group of homotopy classes of self-homotopy equivalence of $X$ and let $\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ be its subgroup of homotopy classes which induce the identity on homotopy groups. As we know, the quotient group $\frac{\mathcal{E}(X)}{\mathcal{E}_{\sharp}(X)}$ can be identified with a subgroup of $Aut(π_{*}(X))$. The aim of this work is to determine this subgroup for rational spaces. We construct the Whitehead exact sequence associated with the minimal Sullivan model of $X$ which allows us to define the subgroup $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}\big(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$ of self-coherent automorphisms of the graded vector space $\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q)$. As a consequence we establish that $\mathcal{E}(X) / \mathcal{E}_{\sharp}(X) \cong \mathrm{Coh.Aut} (\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q))$. In addition, by computing the group $\mathrm{Coh.Aut}\big(\mathrm{Hom}(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$, we give examples of rational spaces that have few self-homotopy equivalences.

研究の動機と目的

• 単連結な有理CW複体 $X$ に対して、自己ホモトピー同値群 $\mathcal{E}(X)$ とホモトピー群に恒等写像を誘導する群 $\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ の商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ の構造を特定すること。
• 有理空間の最小サリバンモデルからホワイトヘッド完全系列 $WES(\Lambda V, \partial)$ を構成し、有理ホモトピー群への整合的自己同型の定義を可能にする。
• ホワイトヘッド系列とコチェーンモデルの技法を用いて、$\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ と群 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ の間の同型を確立すること。
• 特定の有理空間に対して $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を明示的に計算し、$\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ が $n \leq 10$ のとき $\mathcal{E}(X)$ として実現可能であることを示すこと。
• すべての $n \geq 11$ に対して $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ が実現可能かどうかという未解決の問題を提起すること。

提案手法

• 単連結な有理空間 $X$ の最小サリバンモデル $(\Lambda V, \partial)$ を用いて、フィルトレーション $\Lambda V^{\leq n}$ を用いてホワイトヘッド完全系列 $WES(\Lambda V, \partial)$ を構成する。
• 有理グレーディング双対 $V^*$ 上の自己整合的準同型の半群 $\mathrm{Coh.Mor}(V^*)$ と群 $\mathrm{Coh.Aut}(V^*)$ を定義し、コホモロジーへの整合的作用を符号化する。
• 群の短完全系列 $\mathcal{E}_{\sharp}(X) \rightarrowtail \mathcal{E}(X) \twoheadrightarrow \mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を確立し、自己同値と整合的自己同型を結びつける。
• 有理ホモトピー論と最小コチェーン代数の間の同値性を用いて、位相的問題を最小サリバンモデル上の代数的計算に翻訳する。
• モデル内の微分関係から導かれる有理数係数の多項方程式系を解くことで、$\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を計算する。
• 次数の増加に従って生成子を段階的に追加し、指定された微分を備えた最小サリバンモデルを拡張し、それに伴いコホモロジーに誘導される写像の核を用いて、対応する整合的自己同型群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結な有理空間 $X$ に対して、商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ の構造は何か？
• RQ2 有理空間の最小サリバンモデルを用いて、群 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を明示的に計算できるか？
• RQ3 どのような有限群が有理空間の自己ホモトピー同値群として現れることができるか？
• RQ4 どの $n$ に対して群 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ が、ある有理空間 $X$ の $\mathcal{E}(X)$ として実現可能か？
• RQ5 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ がすべての $n \geq 11$ に対して実現可能かどうか？

主な発見

• 任意の単連結な有理CW複体 $X$ に対して、商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ は $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ に同型である。
• 有理空間の系列に対して、その最小サリバンモデルを用いて $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ を明示的に計算した。
• 最小サリバンモデル $\Lambda U_1$ の場合、整合的自己同型群は $\mathbb{Z}_2^4$ であるため、$\mathcal{E}(\Lambda U_1, \delta_1) \cong \mathbb{Z}_2^4$ である。
• 次数 4, 5, 6, 15, 20, 30, 60 の生成子を順次追加し、指定された微分を備えることで、整合的自己同型群は $\mathbb{Z}_2^8$, $\mathbb{Z}_2^9$, $\mathbb{Z}_2^{10}$ と増大する。
• $n \leq 10$ のとき、群 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ は $\mathcal{E}(X)$ として実現可能であり、特に $\mathcal{E}(\Lambda U_8, \delta_8) \cong \bigoplus_{2^{10}} \mathbb{Z}_2$ である。
• 本稿は、$n \geq 11$ のすべての $n$ に対して $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ が実現可能かどうかという問題を未解決のままとしている。