[論文レビュー] Rational semistandard tableaux and character formula for the Lie superalgebra $\hat{\frak{gl}}_{\infty|\infty}$

Jae-Hoon Kwon|ArXiv.org|Apr 29, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lie超代数 $χτγ_{∞|∞}$ 及びその双対 $τγ_n$ の表現理論を統一するための組合せ的枠組みとして $χ/ϒ$-半標準表を導入し、これらの表の斜歪 Littlewood-Richardson 則と有理半標準表との間に双対性を確立する。この表を用いて、準有限最高ウェイト加群の新しい特性式を導出し、Kac-Radul および Cheng-Lam の結果を一般化し、Jacobi-Trudi 型の公式を得る。

ABSTRACT

A new combinatorial interpretation of the Howe dual pair $(\hat{\frak{gl}}_{\infty|\infty},\frak{gl}_n)$ acting on an infinite dimensional Fock space $\frak{F}^n$ of level $n$ is presented. The character of a quasi-finite irreducible highest weight representation of $\hat{\frak{gl}}_{\infty|\infty}$ occurring in $\frak{F}^n$ is realized in terms of certain bitableaux of skew shapes. We study a general combinatorics of these bitableaux, including Robinson-Schensted-Knuth correspondence and Littlewood-Richardson rule, and then its dual relation with the rational semistandard tableaux for $\frak{gl}_n$. This result also explains other Howe dual pairs including $\frak{gl}_n$.

研究の動機と目的

• Fock空間 $\mathfrak{F}^n$ 上で作用する $(\widehat{\mathfrak{gl}}_{\infty|\infty}, \mathfrak{gl}_n)$ のハウ双対対の統一的組合せ的解釈を提供すること。
• $\mathfrak{gl}_{\infty|\infty}$ の非可約最高ウェイト加群の特性式を研究するための新しい組合せ的枠組み—$\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表—を構築すること。
• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表の組合せ論と $\mathfrak{gl}_n$ の有理半標準表との間の双対的関係を確立し、RSK および Littlewood-Richardson 則を一般化すること。
• $L_\lambda$ に対する Jacobi-Trudi 型特性式を導出すること。これは文献で以前に観察されていなかった新しい結果である。
• 双対性をテンソル積分解および分岐則へと拡張し、組合せ的双対性の観点からハウ双対対の一般的構造を説明すること。

提案手法

• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表を、順序付き集合 $\mathcal{A}$ および $\mathcal{B}$ に値をとる半標準表のペアとして定義し、一般化された分割 $\lambda$ によって制約を課す。
• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-表に対する挿入スキームを構築し、Robinson-Schensted-Knuth (RSK) 対応および Littlewood-Richardson (LR) 則の類似を得る。
• 形状 $\lambda/\mu$ の斜歪 $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表を定義し、斜歪 LR 則を確立する。この規則は、有理半標準表と双対的関係にある。
• 適切な $\mathcal{A}$ および $\mathcal{B}$ の選択のもとで、$SST_{\mathcal{A}/\mathcal{B}}(\lambda)$ と表されるこのような表の集合の特性式が、分岐型公式を介して $L_\lambda$ の特性式に還元されることを示す。
• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-表と有理半標準表との双対性を用いて、ハウ双対性枠組みにおけるテンソル積分解と分岐則の双対性を説明する。
• $\mathscr{R}^*$ と $\mathbf{K}(\mathfrak{g})$ の間の同型 $\chi: \mathscr{R}^* \to \mathbf{K}(\mathfrak{g})$ を構築し、LR 則と双対性を用いて $\chi$ が $\mathbb{Z}$-代数同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準有限非可約最高ウェイト表現 $L_\lambda$ の特性式は、$\widehat{\mathfrak{gl}}_{\infty|\infty}$ に対して、どのように表の組合せ的表現として実現可能か？
• RQ2 $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表の組合せ論と $\mathfrak{gl}_n$ の有理半標準表との間の正確な双対性は何か？
• RQ3 $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-表の Littlewood-Richardson 則は、有理半標準表の斜歪 LR 則から導出可能か？逆に、その逆も成立するか？
• RQ4 $L_\lambda$ の特性式は Jacobi-Trudi 型の表現を許容するか？ もし許容するならば、その組合せ的構成法は何か？
• RQ5 ハウ双対対 $(\widehat{\mathfrak{gl}}_{\infty|\infty}, \mathfrak{gl}_n)$ におけるテンソル積分解と分岐則の双対性は、表の組合せ論からどのように生じるか？

主な発見

• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表の形状 $\lambda$ に対する生成関数として、$\widehat{\mathfrak{gl}}_{\infty|\infty}$ の非可約最高ウェイト加群 $L_\lambda$ の特性式が、適切な $\mathcal{A}$ および $\mathcal{B}$ の選択のもとで実現される。
• 文献で以前に観察されていなかった、$L_\lambda$ に対する新しい Jacobi-Trudi 型特性式が導出された。
• $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-半標準表の斜歪 Littlewood-Richardson 則は、有理半標準表の LR 則によって完全に決定され、逆も成り立つ。これにより、双対的双対性が確立される。
• RSK 対応および $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-表の LR 則は、新しい挿入スキームを用いて構築され、古典的結果が超代数設定へと一般化された。
• $\chi: \mathscr{R}^* \to \mathbf{K}(\mathfrak{g})$ の同型が $\mathbb{Z}$-代数同型として確立され、表の特性式を介して表現のグローテンディーク群と対称関数の環とを結ぶ。
• テンソル積分解と分岐則の双対性は、$\mathcal{A}/\mathcal{B}$-表と有理半標準表の LR 則の相互的構造を通じて、組合せ論的に説明される。