[論文レビュー] Rational Solution of the KZ equation (example)

Andrey Tydnyuk|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ n=3 $ および $ k=2 $ の場合におけるキニジン＝ザモロドチキン（KZ）微分方程式系が有理関数の基本解をもつことを証明する。L. サフノヴィッチの手法を用いて、特異点 $ z_1 $ のまわりのローラン級数展開の係数を構成し、高次の項が有限のローラン級数にまで消えることにより、解が有理的であることが示される。

ABSTRACT

We investigate the Knizhnik-Zamolodchikov linear differential system. The coefficients of this system are rational functions. We prove that the solution of the KZ system is rational when $k$ is equal to two and $n$ is equal to three. While doing so, we found the coefficients of expansion in a neighborhood of a singular point.

研究の動機と目的

• 特定のパrameter条件下で、キニジン＝ザモロドチキン（KZ）微分方程式系に有理的解が存在することを確立すること。
• ローラン級数展開を用いて、特異点 $ z_1 $ の近傍における解の構造を調査すること。
• 対称群 $ S_3 $ の表現によって定義されるKZ系において、解が有理的のままであるかどうかを特定すること。
• 解のローラン展開の係数を $ (z - z_1)^2 $ まで計算し、収束性および有理的性を確認すること。
• Sakhnovichの手法による線形微分方程式系の有理的解の必要十分条件を用いて、解を検証すること。

提案手法

• L. Sakhnovichの手法を適用し、KZ系が正則特異点 $ z_1 $ のまわりでどのように振る舞うかを解析する。行列のローラン級数展開を用いる。
• $ z_1 $ のまわりでの係数行列 $ A(z) $ をローラン級数に展開し、$ a_{-1} = P_1 $ とし、高次の係数 $ a_r $ を $ P_2 $ および $ (z_2 - z_1)^{-r-1} $ の形で表現する。
• 再帰関係式 (1.3) を用いて、形式的解 $ W(z) = \sum_{p \geq -2} b_p (z - z_1)^p $ の係数 $ b_{-2}, b_{-1}, b_0, b_1, b_2 $ を計算する。
• 有理的性の必要十分条件を満たすことを検証する：系 (1.3) は $ b_{-2} \neq 0 $ かつ本質的特異点を持たない解をもつこと。
• 行列代数と $ z_2 - z_1 $ の有理関数を用いて $ b_{-2}, b_{-1}, b_0, b_1 $ を明示的に計算し、すべての係数が有理的であることを示す。
• $ (I_3 - P_1) b_2 $ が解をもつことを確認し、級数が終了するか、有理的のままであることを示し、有理的基底解の存在を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノドロミーが $ S_3 $ によって生成される場合、$ n=3 $, $ k=2 $ のKZ系は有理的解をもつか？
• RQ2 特異点 $ z_1 $ のまわりでの解のローラン展開の係数は何か？
• RQ3 Sakhnovichの手法は、この特定の状況において解の有理的性を証明するために適用可能か？
• RQ4 係数行列が対称群の表現から導かれる場合、KZ系の解は有理的か？
• RQ5 再帰系 (1.3) は有限のローラン級数を生じるか、無限の級数を生じるか？ その有理的性は何かによって決定されるか？

主な発見

• 対称群 $ S_3 $ によって生成される行列 $ P_1 $, $ P_2 $ を用いた $ n=3 $, $ k=2 $ のKZ系は、有理的基底解をもつ。
• 係数 $ b_{-2} = \begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&0\end{bmatrix} $ は非ゼロかつ有理的であり、2位の極が存在することを確認する。
• 係数 $ b_{-1} $ は $ (z_2 - z_1)^{-1} $ に比例し、要素は $ \frac{1}{-9(z_2 - z_1)} \begin{bmatrix}-12&12&0\\6&-6&0\\6&-6&0\end{bmatrix} $ である。有理的依存性が確認される。
• 係数 $ b_0 $ は $ \frac{1}{-9(z_2 - z_1)^2} \begin{bmatrix}3&-3&0\\-6&6&0\\3&-3&0\end{bmatrix} $ であり、逆数の累乗に伴い有理的減衰を示す。
• 係数 $ b_1 $ は $ \frac{1}{-9(z_2 - z_1)^3} \begin{bmatrix}6&-6&0\\6&-6&0\\-12&12&0~\end{bmatrix} $ であり、有理的構造が維持されている。
• 方程式 $ (I_3 - P_1) b_2 = \frac{1}{-9(z_2 - z_1)^4} \begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&0\end{bmatrix} $ は解をもつ。再帰が終了しないが、有理的のままであることが確認され、有理的基底解の存在が裏付けられる。