[論文レビュー] Rational solutions of the Boussinesq equation and applications to rogue waves

Peter A. Clarkson, Ellen Dowie|Kent Academic Repository (University of Kent)|Sep 2, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 117被引用数 91

ひとこと要約

本稿は、特殊な多項式を用いて表現される代数的減衰性で2パラメータに依存する、ブルスィネスク方程式の有理的解を導出する。これらは、焦点化非線形シュレーディンガー（NLS）方程式の異常波解に類似した形状を示す。本稿は、KPI方程式の有理的解がNLSおよびブルスィネスク方程式の有理的解から生じることを示す包括的枠組みを確立し、これらは本質的に異なるが、一般化された解の形を通じて統一される。

ABSTRACT

We study rational solutions of the Boussinesq equation, which is a soliton equation solvable by the inverse scattering method. These rational solutions, which are algebraically decaying and depend on two arbitrary parameters, are expressed in terms of special polynomials that are derived through a bilinear equation, have a similar appearance to rogue-wave solutions of the focusing nonlinear Schrödinger (NLS) equation and have an interesting structure. Further rational solutions of the Kadomtsev-Petviashvili I (KPI) equation are derived in two ways, from rational solutions of the NLS equation and from rational solutions of the Boussinesq equation. It is shown that the two families of rational solutions of the KPI equation are fundamentally different.

研究の動機と目的

• ブルスィネスク方程式の有理的解を、代数的減衰性と2つの任意パラメータに依存する形で代数的に導出すること。
• これらの解の構造的性質を調査し、特に関連する双線形方程式の4つの独立解の線形結合としての構成を明らかにすること。
• ブルスィネスク方程式の有理的解と焦点化NLS方程式の有理的解との関係を確立すること。
• NLSとブルスィネスク方程式の有理的解に由来するKPI方程式の2つの異なる有理的解の族を、一つの一般化された枠組みに統合すること。
• これらの解が、水波、光工学、プラズマ物理学を含む多様な物理系における異常波現象のモデル化にどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• ブルスィネスク方程式の有理的解は、双線形形式を用い、双線形方程式から導かれる特殊な多項式を用いて構成される。
• 解は空間変数および時間変数の有理関数として表現され、係数は多項式の再帰的関係式によって決定される。
• 解の構造は、関連する双線形方程式の4つの独立解の線形結合への分解によって分析される。
• KPI方程式の有理的解は2通りの方法で導出される：焦点化NLS方程式の有理的解からと、ブルスィネスク方程式の有理的解からと。
• NLSに基づく解とブルスィネスクに基づく解の両方を特別な場合として含む、KPI方程式の一般化された有理的解が導出される。
• 2つの異なるKPI解の族が本質的に異なるが、一般化された解の中に埋め込まれることを示すことで、統合的枠組みの妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブルスィネスク方程式の有理的解は、どのように体系的に導出可能であり、どのような構造的性質を示すか？
• RQ2 ブルスィネスク方程式の有理的解と焦点化NLS方程式の有理的解との間にはどのような関係があるか。特に、異常波モデル化の文脈において。
• RQ3 NLSとブルスィネスク方程式の解に由来するKPI方程式の2つの有理的解の族は、本質的に異なるものか。もしそうならば、それらはどのように統合可能か？
• RQ4 NLSに基づく解とブルスィネスクに基づく解を特別な場合として含む、KPI方程式の一般化された有理的解を構築可能か？
• RQ5 これらの有理的解は、非線形系における異常波現象のモデル化において、物理的にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ブルスィネスク方程式の有理的解は、代数的減衰性を示し、xおよびtに関する高次多項式で明示的に表される2つの任意パラメータに依存する。
• これらの解は、関連する双線形方程式の4つの独立解の線形結合として構成されており、非自明な内部構造を示している。
• KPI方程式の有理的解は、焦点化NLS方程式およびブルスィネスク方程式の有理的解から両方導出可能であり、2つの異なる族を生じる。
• 2つのKPI有理的解の族は、多項式構造と漸近的挙動の違いから、本質的に異なることが確認された。
• NLSに基づく解とブルスィネスクに基づく解の両方を特別な場合として含む、KPI方程式の一般化された有理的解が導出された。
• 導出された解は、NLS方程式の異常波解と類似した外観を示し、非線形系における極端な波動現象のモデル化への関連性を裏付けている。