[論文レビュー] Rational stochastic languages

François Denis, Yann Esposito|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2006

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℚ、ℝ、ℚ⁺、ℝ⁺などの半環にパラメータを持つ多重性オートマトンによって生成される自由モノイド上の確率分布である有理確率的言語を体系的に研究する。ℝ や ℚ 上の有理確率的言語は、有限生成された残渣部分半モジュールを持つことが示され、これが確率的オートマトンとの構造的関係を生じる。一方、ℝ⁺ や ℚ⁺ 上の有理確率的言語はそのような性質を持たないことがあり、一般の確率的オートマトンの推論における限界と、確率的決定的および残渣的オートマトンの成功を説明する。

ABSTRACT

The goal of the present paper is to provide a systematic and comprehensive study of rational stochastic languages over a semiring K \in {Q, Q +, R, R+}. A rational stochastic language is a probability distribution over a free monoid Σ^* which is rational over K, that is which can be generated by a multiplicity automata with parameters in K. We study the relations between the classes of rational stochastic languages S rat K (Σ). We define the notion of residual of a stochastic language and we use it to investigate properties of several subclasses of rational stochastic languages. Lastly, we study the representation of rational stochastic languages by means of multiplicity automata.

研究の動機と目的

• さまざまな半環 ℚ、ℝ、ℚ⁺、ℝ⁺ における有理確率的言語の包括的な理論的枠組みを提供すること。
• 特に文法的推論の文脈において、有理確率的言語と確率的オートマトンの関係を明確にすること。
• 残渣言語（導出）が有理性および表現の有限性を特徴づける役割を調査すること。
• 有理値をとる有理確率的言語が、常に ℚ⁺ や ℝ⁺ における係数を用いて表現可能かどうかを特定すること。

提案手法

• K ∈ {ℚ, ℝ, ℚ⁺, ℝ⁺} における半環上の形式的級数を用いて、係数が K に属する多重性オートマトンによって表現可能な言語として有理確率的言語を定義する。
• 非ゼロ確率を持つ語 u に対して、u⁻¹p(w) = p(uw)/p(uΣ*) として残渣言語を定義し、これが自身が確率的言語であることを示す。
• 確率的言語 p のすべての残渣言語のスパンとして定義される残渣部分半モジュール [Res(p)] を導入し、p が有理的であることと [Res(p)] が有限生成であることとは同値であることを証明する。
• 形式的級数および部分半モジュールの理論を用いて、有理確率的言語のクラス間の閉包性および包含関係を分析する。
• 有限個の残渣言語から多重性オートマトンを構成し、K ∈ {ℝ⁺, ℚ⁺} のとき、それが確率的決定的オートマトン（PDA）と同値であることを示す。
• ファトウ拡大の概念を用いて、異なる半環における有理性を比較し、ℝ が ℚ のファトウ拡大であるが、ℝ⁺ が ℚ⁺ のファトウ拡大でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ⁺ 上で ℚ⁺ に値をとるすべての有理確率的言語は、ℚ⁺ 上でも有理的か？
• RQ2 有理値をとる有理確率的言語は、常に ℚ⁺ に係数を持つ多重性オートマトンによって表現可能か？
• RQ3 ℝ や ℚ 上の有理確率的言語の残渣部分半モジュールは、常に有限個の残渣言語による基底をもつか？
• RQ4 特に包含関係および閉包性の観点から、異なる半環上での有理確率的言語クラスの関係は何か？
• RQ5 ℝ⁺ または ℚ⁺ 上の有理確率的言語が、残渣言語による有限表現をもつのはどのような条件下か？

主な発見

• 半環 ℝ は、確率的言語において ℚ のファトウ拡大である：ℝ 上で ℚ に値をとる有理確率的言語は、ℚ 上でも有理的である。
• 半環 ℝ⁺ は、ℚ⁺ のファトウ拡大でない：ℝ⁺ 上で ℚ⁺ に値をとる有理確率的言語のうち、ℚ⁺ 上で有理的でないものも存在する。
• 有理確率的言語 p の残渣部分半モジュール [Res(p)] が有限生成であることと、p が有理的であることとは同値であり、これは K = ℝ または ℚ の場合に成り立つ。
• K ∈ {ℝ⁺, ℚ⁺} のとき、有理確率的言語が有限個の残渣言語をもつことと、それが確率的決定的オートマトン（PDA）によって生成されることとは同値である。
• ℝ⁺ 上の有理確率的言語のクラスは、確率的オートマトン（PA）によって生成される言語のクラスに等しい。同様に ℚ⁺ の場合も同様である。
• ℝ（または ℚ）上の有理確率的言語のクラスは、確率的残渣オートマトン（PRA）によって生成される言語のクラスに等しく、このクラスは有限生成された残渣部分半モジュールを持つ言語のクラスとも等しい。