[論文レビュー] Rational torsion on the generalized Jacobian of a modular curve with cuspidal modulus

Takao Yamazaki, Yifan Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$N = p^n$ のとき、$p \geq 5$ を素数として、尖点モジュラスを伴うモジュラー曲線 $X_0(N)$ の一般化ヤコビアン $J_0(N)$ の有理捩り部分群を調査する。モジュラー単数と除数類群の解析を用いて、$J_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ が位数 2 の巡回群であることを示し、高次の冪では $6p$-捩りまでが自明であることを示す。これは古典的ヤコビアンのより大きな捩りと対照的である。主な貢献は、一般化ヤコビアン構成によって有理捩りが著しく削減されることである。

ABSTRACT

We consider the generalized Jacobian $\widetilde{J}_0(N)$ of a modular curve $X_0(N)$ with respect to a reduced divisor given by the sum of all cusps on it. When $N$ is a power of a prime $\geq 5$, we exhibit that the group of rational torsion points $\widetilde{J}_0(N)(\mathbb{Q})_{\mathrm{Tor}}$ tends to be much smaller than the classical Jacobian.

研究の動機と目的

• モジュラー曲線に尖点モジュラスを伴う一般化ヤコビアン $\widetilde{J}_0(N)$ の有理捩り部分群の構造を理解すること。
• 特に $N = p^n$, $p \geq 5$ のとき、一般化ヤコビアン $\widetilde{J}_0(N)$ の有理捩りと古典的ヤコビアン $J_0(N)$ の有理捩りを比較すること。
• $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$ と仮定した場合に、$\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ が $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ より著しく小さいか、あるいは自明であるかを同定すること。
• モジュラー単数と除数類が一般化ヤコビアンにおける捩りを制御する役割を分析すること。

提案手法

• 著者たちは、$X_0(N)$ 上のすべての尖点の和 $C_0(N)$ をモジュラスとして用いる一般化ヤコビアン構成により、$\widetilde{J}_0(N)$ を定義する。
• 一般化ヤコビアンと古典的ヤコビアン、および除数類群との関係を示す完全列を用いて、有理捩り点の群を分析する。
• モジュラー単数から導かれる格子 $\Lambda \otimes \mathbb{Q}$ への写像 $\Delta$ の単射性に依存する。
• Takagiの公式を用いて、$N = pq$, $p,q \equiv 1 \mod 12$ のとき、$\mathscr{C}(N)$ の尖点除数類群の位数を計算し、特定のケースでの捩りを求める。
• 尖点におけるモジュラー単数の先頭係数を用いて、除数類写像の像を計算し、$J_0(N)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ への写像の核を特定する。
• 写像 $\widetilde{\Delta}$ と $\widetilde{\delta}$ を含む可換図式を用いて、$\Delta$ の余核が $\operatorname{Coker}(\widetilde{\Delta})$ に単射に写るこを示し、これにより捩りの位数を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $p \geq 5$ のとき、一般化ヤコビアン $\widetilde{J}_0(p)$ の有理捩り部分群は、古典的ヤコビアン $J_0(p)$ のそれとどのように異なるか？
• RQ2 $N = p^n$, $p \geq 5$ のとき、一般化ヤコビアンの有理捩り部分群 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ は、$J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ より著しく小さいか？
• RQ3 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$ を仮定した場合、$\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ の構造は何か？
• RQ4 モジュラー単数とその除数類を用いて、一般化ヤコビアンの捩り部分群を明示的に計算できるか？

主な発見

• $p \geq 5$ を素数として $N = p$ のとき、有理捩り部分群 $\widetilde{J}_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ は位数 2 の巡回群である。
• $p \geq 5$ で $p \not\equiv 11 \mod 12$ のとき、一般化ヤコビアンの有理捩りは $2p$-捩りまで自明である。
• $p \not\equiv 11 \mod 12$ の仮定なしでは、有理捩りは $6p$-捩りまで自明である。
• $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$ の予想のもとで、$n$ が偶数のとき、$\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ は $\prod_{i=0}^{(n/2)-1} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{n/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$ に同型である。
• $n$ が奇数のとき、$\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ は $\prod_{i=0}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$ に同型であり、構造的ではあるが小さい捩り群である。
• $p,q \equiv 1 \mod 12$ である $N = pq$ のとき、写像 $\mathscr{C}(pq) \to J_0(pq)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ の核は、$D_1 - D_2 - D_3$ の類によって生成される位数 $c = \frac{(p-1)(q-1)}{24}$ の巡回群である。