[論文レビュー] Rational transformations of algebraic curves and elimination theory

Alexander Shapiro, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Jul 12, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、代数的曲線の有理写像への古典的消去理論の拡張を、一般化されたベズウ行列と行列式表現を導入することで実現する。この手法により、平面代数的曲線の有理写像による像を明示的に計算可能であり、曲線上における2つの変数多項式の共通零点の個数（重複度を含む）を決定できる。不変理論と曲線固有のバーデンマインド型ベクトルに基づく構造的線形代数を用いる。

ABSTRACT

Elimination theory has many applications, in particular, it describes explicitly an image of a complex line under rational transformation and determines the number of common zeroes of two polynomials in one variable. We generalize classical elimination theory and create elimination theory along an algebraic curve using the notion of determinantal representation of algebraic curve. This new theory allows to describe explicitly an image of a plane algebraic curve under rational transformation and to determine the number of common zeroes of two polynomials in two variables on a plane algebraic curve.

研究の動機と目的

• 1変数または平面内の有理曲線に限られていた古典的消去理論を、平面上の2変数多項式および代数的曲線へ一般化すること。
• 有理写像による平面代数的曲線の像を、行列式表現を用いて明示的に記述すること。
• 与えられた代数的曲線上における2つの2変数多項式の共通零点（重複度を含む）の個数を特定すること。
• 一般化されたベズウ行列と曲線に適応したバーデンマインド型ベクトルに基づく、この一般化された消去理論の枠組みを構築すること。

提案手法

• 著者らは、エルミート行列による既約な平面代数的曲線の行列式表現を用い、曲線を det(D₀ + x₁D₁ + x₂D₂) の零点集合として定義する。
• 各曲線上の点における行列線形束の核に属する固定ベクトルを用いて、バーデンマインド型ベクトルの曲線に適した一般化を構成する。
• 一般化されたベズウ行列を、多項式の共通零点に対応するベクトルと直交する部分空間上で定義する。
• 一般化されたベズウ行列を、共通基点に対応するバーデンマインド型ベクトルと直交する主部分空間に制限することで、有理写像に対して不変性を保証する。
• 有理写像による曲線の像は、制限された一般化されたベズウ行列を含む新しい行列式表現により計算される。
• 理論は有理写像の合成への応用が可能であり、同一の代数的構造を用いた2つの異なる合成写像の像の構成法が等価であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1変数の古典的消去理論を、2変数多項式および平面上の代数的曲線へどのように一般化できるか？
• RQ2 平面代数的曲線の有理変換による像の明示的代数的記述は何か？
• RQ3 与えられた代数的曲線上で2つの2変数多項式の共通零点（重複度を含む）の個数をどのように計算できるか？
• RQ4 行列式表現と一般化されたベズウ行列が、このような計算を可能にする役割は何か？
• RQ5 有理写像の合成における像の異なる構成法は、この枠組みにおいて等価であるか？

主な発見

• 平面代数的曲線の有理変換による像は、制限された一般化されたベズウ行列を含む行列式表現で与えられる：det(x₀B̄(p₁,p₂) + x₁B̄(p₂,p₀) + x₂B̄(p₀,p₁))。
• 曲線に付随するベクトル空間上で制限された一般化されたベズウ行列のランクと構造を用いることで、2つの2変数多項式の共通零点の個数を計算可能である。
• 同一の曲線の同値な行列式表現に対して不変であるため、像の記述が一貫性を保つ。
• 有理写像の合成に対しては、2通りの異なる像の計算方法が、同じ代数的構造に基づき、等価な行列式表現をもたらす。
• この枠組みは高次元およびd重の作用素の族へ自然に拡張可能であり、根幹のアイデアは構造的にそのまま保たれる。