[論文レビュー] Rationality problem for algebraic tori

Akinari Hoshi, Aiichi Yamasaki|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 70被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、GAP計算代数システムを用いたG-格子のflabby分解の有効な計算を通じて、体$k$上での次元4および5の代数的トーラスの完全な安定的有理的分類を提供する。4次元では、安定的有理的であるものが正確に487個、再帰的だが安定的有理的でないものが7個、再帰的でないものが216個であり、5次元ではそれぞれ3051個、25個、3003個であることが示された。また、ランク5および6のG-格子に対してクルール＝シュミットの定理が成り立たないことも証明された。

ABSTRACT

We give the complete stably rational classification of algebraic tori of dimensions $4$ and $5$ over a field $k$. In particular, the stably rational classification of norm one tori whose Chevalley modules are of rank $4$ and $5$ is given. We show that there exist exactly $487$ (resp. $7$, resp. $216$) stably rational (resp. not stably but retract rational, resp. not retract rational) algebraic tori of dimension $4$, and there exist exactly $3051$ (resp. $25$, resp. $3003$) stably rational (resp. not stably but retract rational, resp. not retract rational) algebraic tori of dimension $5$. We make a procedure to compute a flabby resolution of a $G$-lattice effectively by using the computer algebra system GAP. Some algorithms may determine whether the flabby class of a $G$-lattice is invertible (resp. zero) or not. Using the algorithms, we determine all the flabby and coflabby $G$-lattices of rank up to $6$ and verify that they are stably permutation. We also show that the Krull-Schmidt theorem for $G$-lattices holds when the rank $\leq 4$, and fails when the rank is $5$. Indeed, there exist exactly $11$ (resp. $131$) $G$-lattices of rank $5$ (resp. $6$) which are decomposable into two different ranks. Moreover, when the rank is $6$, there exist exactly $18$ $G$-lattices which are decomposable into the same ranks but the direct summands are not isomorphic. We confirm that $H^1(G,F)=0$ for any Bravais group $G$ of dimension $n\leq 6$ where $F$ is the flabby class of the corresponding $G$-lattice of rank $n$. In particular, $H^1(G,F)=0$ for any maximal finite subgroup $G\leq { m GL}(n,\mathbb{Z})$ where $n\leq 6$. As an application of the methods developed, some examples of not retract (stably) rational fields over $k$ are given.

研究の動機と目的

• 体$k$上での次元4および5の代数的トーラスの、安定的有理的、再帰的だが安定的有理的でない、非再帰的であるものの完全な分類を提供すること。
• GAP計算代数システムを用いたG-格子のflabby分解を効率的に計算するためのアルゴリズムの開発。
• ランク6までのG-格子に対してクルール＝シュミットの定理が成り立つかどうかを特定し、成り立たない場合の例を同定すること。
• 次元$n \leq 6$のすべてのブラヴァイス群$G$および$l{GL}(n,\mathbb{Z})$のすべての最大有限部分群に対して、$H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$が成り立つかを検証すること。
• 開発された手法を応用して、$k$上での再帰的（安定的）に有理的でない体の明示的例を構成すること。

提案手法

• 著者たちは、G-格子と代数的$k$-トーラスの双対性を用いて、有理的問題をflabby分解を含む格子論的問題に翻訳する。
• GAPシステムに実装されたアルゴリズムを用いて、G-格子$M_G$のflabby類$[M_G]^{fl}$を計算し、それが可逆であるか、ゼロであるかを特定する。
• flabby類$[M_G]^{fl}$が自明であるかどうかを確認するための3つの独立した検証手法（手法I～III）を含む。これらはコホモロジー的および格子分解基準に基づく。
• 分類は、ランク6までのG-格子の計算に依拠しており、特にflabbyおよびcoflabby格子の同定と、それらの安定的置換可能性の検証に注力している。
• ランク$n \leq 6$の最大有限部分群$G \leq \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$を分析し、それに対応するブラヴァイス群と関連する二次形式を計算する。
• Tateコホモロジー計算を用いて、すべてのこのような群に対して$H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$が成り立つことを確認する。これは有理的であるための重要な条件である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体$k$上での次元4の代数的トーラスについて、安定的有理的、再帰的だが安定的有理的でない、非再帰的であるものの個数はそれぞれいくつあるか？
• RQ2 体$k$上での次元5の代数的トーラスについて、安定的有理的、再帰的だが安定的有理的でない、非再帰的であるものの個数はそれぞれいくつあるか？
• RQ3 ランク5および6のG-格子に対してクルール＝シュミットの定理は成り立つか？成り立たない場合、複数の方法で分解可能な格子はいくつあるか？
• RQ4 次元$n \leq 6$のすべてのブラヴァイス群$G$および$l{GL}(n,\mathbb{Z})$のすべての最大有限部分群に対して、$H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$が成り立つか？
• RQ5 開発されたアルゴリズムは、$k$上での再帰的（安定的）に有理的でない体の明示的例を生成できるか？

主な発見

• 体$k$上での次元4の代数的トーラスについて、安定的有理的であるものは正確に487個、安定的有理的でないが再帰的であるものは7個、非再帰的であるものは216個である。
• 体$k$上での次元5の代数的トーラスについて、安定的有理的であるものは正確に3051個、安定的有理的でないが再帰的であるものは25個、非再帰的であるものは3003個である。
• ランク5および6のG-格子に対してクルール＝シュミットの定理は成り立たない：ランク5の格子には11個、ランク6の格子には131個が、異なるランクの直和に分解可能である。
• ランク6の場合、同じランクの直和に分解可能だが、非同型な直和成分を持つ格子が正確に18個存在し、これは一意性のより強い失敗を示している。
• ブラヴァイス群に対応するランク$n \leq 6$のすべてのG-格子について、flabby類$[M_G]^{fl}$が自明（すなわち$[M_G]^{fl} = 0$）であることが示され、$H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$が成り立つ。
• 開発されたGAPアルゴリズムは、ランク6までのすべてのflabbyおよびcoflabby G-格子を特定でき、それらすべてが安定的置換可能であることを確認した。