[論文レビュー] Rayleigh–Benard Instability of an Ellis Fluid Saturating a Porous Medium

Michele Celli, A. Barletta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 19被引用数 23

ひとこと要約

本研究は、水平方向の流れを有する多孔質媒体に飽和した剪切薄性のEllis流体におけるレイノルズ＝ベナール対流の発生を検討する。線形安定性解析により、Ellisモデルが低せん断応力におけるべき乗則モデルの特異性を解消することを示し、高い流れ速度が対流発生に必要な臨界温度差を著しく低減することを明らかにした。横方向のリーブルが最も不安定であり、共動フレーム内では移動しない。

ABSTRACT

The Ellis model describes the apparent viscosity of a shear–thinning fluid with no singularity in the limit of a vanishingly small shear stress. In particular, this model matches the Newtonian behaviour when the shear stresses are very small. The emergence of the Rayleigh–Bénard instability is studied when a horizontal pressure gradient, yielding a basic throughflow, is prescribed in a horizontal porous layer. The threshold conditions for the linear instability of this system are obtained both analytically and numerically. In the case of a negligible flow rate, the onset of the instability occurs for the same parametric conditions reported in the literature for a Newtonian fluid saturating a porous medium. On the other hand, when high flow rates are considered, a negligibly small temperature difference imposed across the horizontal boundaries is sufficient to trigger the convective instability.

研究の動機と目的

• 多孔質媒体に飽和した非ニュートン流体の自然対流の発生を分析すること。
• ゼロに近いせん断応力におけるべき乗則モデルの特異性問題を解消するため、Ellisの流れ則的モデルを採用すること。
• 所定の水平方向の流れを想定した下で、線形不安定性の閾値条件を特定すること。
• Darcy–Ellis数およびEllisのべき乗則指数が臨界レイノルズ数および波数に与える影響を調査すること。

提案手法

• Ellis流体のための修正されたダルシー則を用いて問題を定式化し、Ellisモデルによる顕在粘性を組み込む。
• オーバーベック＝ブジネスコ近似を適用し、特徴的な長さ、時間、温度スケールを用いて支配方程式を無次元化する。
• 基本状態を微小振幅の摂動で摂動し、正規モード法を用いて線形安定性解析を実施する。
• 固有値解析を容易にするために、圧力－温度形式の支配方程式を導出する。
• 極限状態に対して解析的に固有値問題を解き、数値的にシューティング法と根の探索アルゴリズムを用いて解く。
• 高精度な比較（最大12桁の有効数字）により、解析的結果を数値的解と検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ellisモデルは、特異なべき乗則モデルと比較して、多孔質層内の熱対流の発生にどのように影響を与えるか？
• RQ2 所定の流れを有するEllis流体において、不安定性発生のための臨界Darcy–レイノルズ数は何か？
• RQ3 Darcy–Ellis数およびEllisのべき乗則指数は、臨界波数および最も不安定なモードの性質にどのように影響を与えるか？
• RQ4 流れが無視できる場合（El → 0）および非常に高い流れの場合（El → ∞）における臨界条件はどのように変化するか？
• RQ5 最も不安定なリーブルは横方向であり、基本流れフレームに対して移動するか？

主な発見

• 修正されたDarcy–Ellis数El → 0の極限において、臨界Darcy–レイノルズ数は4π² ≈ 39.48に収束し、ニュートン流体の古典的Horton–Rogers–Lapwood問題およびPrats問題と一致する。
• 高い流れ速度（El → ∞）の極限では、臨界Darcy–レイノルズ数はゼロに収束し、微小な温度差でも対流が発生することを示唆する。
• 最も不安定なモードは、流れ方向に垂直な軸を持つ横方向のリーブルであり、共動参照フレーム内では移動しない。
• 横方向リーブルの角周波数は、波数とペクレ数の積に等しく、移動フレーム内での非伝播性を確認する。
• 修正されたDarcy–Ellis数Elは基本流れに対して安定化効果を示すが、Ellisのべき乗則指数nは不安定化効果を示す。
• 臨界波数およびレイノルズ数について、解析的解と数値的解が12桁の有効数字内に一致し、解析的手法の正確性が確認された。