[論文レビュー] RBF-based meshless boundary knot method and boundary particle method

Wen Chen|ArXiv.org|Jul 10, 2002

Numerical methods in engineering参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、径数基底関数（RBFs）を用いて偏微分方程式（PDEs）を解く、メッシュレス境界型手法である境界コンパス法（BKM）および境界粒子法（BPM）を導入する。従来の手法とは異なり、特異的でない一般解を用いることで、特異的基底解と人工境界の両方を回避し、2次元および3次元のヘルムホルツ方程式および対流拡散問題において、複雑な幾何形状を有する問題に対しても、メッシュフリーで対称的かつ積分を要せず、超収束する解を得る。

ABSTRACT

This paper is concerned with the two new boundary-type radial basis function collocation schemes, boundary knot method (BKM) and boundary particle method (BPM). The BKM is developed based on the dual reciprocity theorem, while the BPM employs the multiple reciprocity technique. Unlike the method of fundamental solution, the wto methods use the nonsingular general solutions instead of singular fundamental solution to circumvent the controversial artificial boundary outside physical domain. Compared with the boundary element method, both the BKM and BPM are meshfree, superconvergent, meshfree, integration free, symmetric, and mathematically simple collocation techniques for general PDEs. In particular, the BPM does not require any inner nodes for inhomogeneous problems. In this study, the accuracy and efficiency of the two methods are numerically demonstrated to some 2D, 3D Helmholtz and convection-diffusion problems under complicated geometries.

研究の動機と目的

• 境界要素法の限界、特に人工境界の必要性を克服するメッシュレス境界型手法の開発。
• 境界配置スキームにおいて特異的基底解の使用を排除し、非特異的一般解を用いる。
• 一般PDE、特に非同次問題に対して、対称的で積分を要せず、数学的に単純なアプローチを提供する。
• 複雑な幾何形状を有する2次元および3次元のヘルムホルツ方程式および対流拡散問題において、提案手法の精度と効率を示す。
• BPMが非同次問題において内部ノードを必要としないことにより、従来手法と比較して実装が簡素化されることを示す。

提案手法

• 境界コンパス法（BKM）は、双対再帰定理に基づき、非特異的一般解を用いて非同次PDEの特解を近似する。
• 境界粒子法（BPM）は、多重再帰技術を用いて非同次項を等価な境界のみの定式化に変換する。
• 両手法とも、境界ノードにおける配置に径数基底関数（RBFs）を用い、領域離散化およびメッシュ生成を回避する。
• RBFsの性質と境界のみの配置を活用することで、対称的かつ超収束する定式化がなされる。
• 非特異的一般解の使用により、境界要素法の特異的基底解に伴う課題を回避し、境界要素法における人工境界の設置の問題を解消する。
• 2次元および3次元のヘルムホルツ方程式および対流拡散方程式に、境界ノードのみを用いて解の近似を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的基底解と人工境界の使用を回避するメッシュレス境界型手法を開発可能か？
• RQ2 BKMおよびBPMは、従来の境界要素法と比較して、精度および計算効率においてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 BPMは非同次PDEにおいて内部ノードを必要としないか？
• RQ4 BKMおよびBPMは、複雑な幾何形状において対称性および超収束性をどの程度維持できるか？
• RQ5 不規則な領域を有する2次元および3次元のヘルムホルツ方程式および対流拡散問題を解くにあたり、これらの手法はどの程度頑健か？

主な発見

• BKMおよびBPMは、複雑な幾何形状を有する2次元および3次元のヘルムホルツ方程式および対流拡散問題において高い精度を達成する。
• 両手法とも、メッシュフリーで対称的かつ積分を要せず、従来の境界要素法に比べて計算上の利点を有する。
• BPMは、内部ノードを一切必要とせず、非同次問題を効果的に解くことができ、実装プロセスが簡素化される。
• 非特異的一般解の使用により、境界要素法における人工境界の必要性が回避され、境界要素法の主要な限界が解消される。
• 数値結果により、不規則な領域を有するさまざまなテストケースにおいて、両手法の頑健性および効率性が示された。
• 両手法は強い収束特性を示し、特に挑戦的な境界値問題においても高い精度が得られることを示唆している。