[論文レビュー] RC-positivity and the generalized energy density I: Rigidity

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リーマンおよびヘルミート多様体間の滑らかな写像に対して、射影バンドル $\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上に新しい一般化されたエネルギー密度関数 $\mathscr{Y}$ を導入し、特筆すべきヘッセ推定を導出し、全純、調和、および複素調和写像の剛性定理を確立する。主な貢献は、正の全純セクション曲率を持つコンパクトなヘルミート多様体から、非正の曲率を持つ多様体への非定値全純写像が存在できないことを証明することであり、RC-正性と曲率解析を用いて古典的剛性結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new energy density function $\mathscr Y$ on the projective bundle $\mathbb{P}(T_M)\>M$ for a smooth map $f:(M,h)\>(N,g)$ between Riemannian manifolds $$\mathscr Y=g_{ij}f^i_αf^j_β\frac{W^αW^β}{\sum h_{γδ} W^γW^δ}.$$ We get new Hessian estimates to this energy density and obtain various new Liouville type theorems for holomorphic maps, harmonic maps and pluri-harmonic maps. For instance, we show that there is no non-constant holomorphic map from a compact \emph{Hermitian manifold} with positive (resp. non-negative) holomorphic sectional curvature to a \emph{Hermitian manifold} with non-positive (resp. negative) holomorphic sectional curvature.

研究の動機と目的

• リーマンおよびヘルミート多様体間の滑らかな写像に対して、射影バンドル $\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上に新しい一般化されたエネルギー密度 $\mathscr{Y}$ を開発すること。
• 部分的曲率正性、特にRC-正性の下で有効な、$\mathscr{Y}$ の新たなヘッセ推定を導出すること。
• コンパクト多様体上の全純、調和、および複素調和写像の新しいLiouville型剛性定理を確立すること。
• ケーラーまたはリッチ曲率の仮定を、全純セクション曲率とRC-正性に置き換えることで、古典的剛性結果を一般化すること。
• 一般化されたエネルギー枠組みを用いて、関数論、調和写像の安定性、および複素多様体の双曲的性に関する応用を探索すること。

提案手法

• 全純座標とファイバー座標 $W^\alpha$ を用いて、$\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上に一般化されたエネルギー密度 $\mathscr{Y} = g_{ij}f^i_\alpha f^j_\beta \frac{W^\alpha W^\beta}{\sum h_{\gamma\delta}W^\gamma W^\delta}$ を定義する。
• 複素ヘッセ推定（定理1.1）を導出し、$\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\mathscr{Y} \geq \left(\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\mathscr{H}^{-1}\right)\mathscr{Y} - \frac{\sqrt{-1}R_{i\overline{j}k\overline{\ell}}f^i_\alpha \overline{f^j_\beta}f^k_\mu \overline{f^\ell_\nu}W^\mu \overline{W}^\nu dz^\alpha \wedge d\overline{z}^\beta}{\mathscr{H}}$ を得る。
• ヘッセ推定を用いて剛性を証明する：$M$ が正の全純セクション曲率を持ち、$N$ が非正の曲率を持つならば、任意の全純写像 $f: M \to N$ は定値である。
• 一般化されたエネルギー密度とターゲット多様体の曲率正性条件を活用することで、調和および複素調和写像に対してもこの手法を適用する。
• リーマン曲率テンソルのRC-正性を定義し、エネルギー密度枠組みをリーマン的状況に拡張することで、同様のヘッセ推定および剛性結果を得る。
• グラスマン多様体バンドル $\mathrm{Gr}(k,T_M)$ への拡張を検討し、RC-正性とDemailly-Semple塔技法を用いて、双曲的問題にこの手法を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}(T_M)$ 上に新しいエネルギー密度を導入することで、ケーラーまたはリッチ曲率の仮定よりも弱い条件下で、全純写像のより強い剛性結果を得られるか？
• RQ2 一般化されたエネルギー密度 $\mathscr{Y}$ は、全般的な双曲的またはリッチ曲率が正でない場合でも、曲率正性を検出できるヘッセ推定を有するか？
• RQ3 この手法を用いて、全純セクション曲率またはRC-正性のみを仮定して、調和および複素調和写像の剛性を証明できるか？
• RQ4 RC-正多様体からブロディ双曲多様体への非定値写像の非存在性について、微分幾何的証明が可能か？
• RQ5 一般化されたエネルギー枠組みをグラスマン多様体バンドルに拡張でき、高ランクの曲率正性を研究するのに用いることができるか？

主な発見

• 正の全純セクション曲率を持つコンパクトなヘルミート多様体から、非正の全純セクション曲率を持つヘルミート多様体への非定値全純写像は存在しない。
• 一般化されたエネルギー密度 $\mathscr{Y}$ はヘッセ推定（定理1.1）を有し、曲率項とタウトロジカルラインバンドルの計量 $\mathscr{H}^{-1}$ を組み込む。
• 全純写像が $\mathbb{C}$ に倣う場合、ヘッセ推定は $\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\mathscr{Y} \geq \left(\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\mathscr{H}^{-1}\right)\mathscr{Y}$ に簡略化され、Liouville型の結果が得られる。
• ターゲット多様体が非正の複素セクション曲率であり、ソース多様体がRC-正の接バンドルを持つならば、任意のヘルミート調和写像は定値である。
• RC-正性によるリーマン的状況への拡張により、ケーラー仮定なしに調和写像の剛性結果を得られる。
• この枠組みは、双曲的多様体への予想的拡張を支持し、RC-正性とDemailly-Semple塔手法を用いたアプローチが提案されている。