[論文レビュー] RCF2: Evaluation and Consistency

Michael Pfender|ArXiv.org|Sep 23, 2008

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多項式環 $\mathbb{N}[\omega]$ 内の順序数複雑度を用いた構成的評価枠組みを導入し、原始再帰的（PR）関数の評価を提示する。これにより、$\pi_O\mathbf{R} = \mathbf{PR_A} + (\pi_O)$ と呼ばれる強化理論に対して、終了条件付き内部的健全性と自己整合性を確立する。非無限降下スキーマを用いることで、理論の終了性と整合性を保証する。主な貢献は、$\pi_O\mathbf{R}$ が自身の内部整合性式 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$ を構成的評価とやや強い順序数降下公理を用いて導出できることを示したことである。

ABSTRACT

We construct here an iterative evaluation of all PR map codes: progress of this iteration is measured by descending complexity within "Ordinal" O := N[ω] of polynomials in one indeterminate, ordered lexicographically. Non-infinit descent of such iterations is added as a mild additional axiom schema (π_O) to Theory PR_A = PR+(abstr) of Primitive Recursion with predicate abstraction, out of forgoing part RCF 1. This then gives (correct) "on"-termination of iterative evaluation of argumented deduction trees as well, for theories PR_A+(π_O). By means of this constructive evaluation the Main Theorem is proved, on Termination-conditioned (Inner) Soundness for such theories, Ordinal O extending N[ω]. As a consequence we get Self-Consistency for these theories, namely derivation of its own free-variable Consistency formula. As to expect from classical setting, Self-Consistency gives (unconditioned) Objective Soundness. Termination-Conditioned Soundness holds "already" for PR_A, but it turns out that at least present derivation of Consistency from this conditioned Soundness depends on schema (π_O) of non-infinit descent in Ordinal O := \N[ω].

研究の動機と目的

• 原始再帰の自由変数理論である $\mathbf{PR_A}$ を拡張した強化理論 $\pi_O\mathbf{R}$ に対して、構成的終了性と健全性を確立すること。
• 反復的評価プロセスを用いて、$\pi_O\mathbf{R}$ が自身の内部整合性式 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$ を証明することにより、その整合性を解消すること。
• 非無限降下スキーマ $\tilde{\pi}_O$ が、特に $\mathbf{PR_A}$ の文脈において自己整合性を導出するために必要かどうかを調査すること。
• 弱い算術的理論における終了条件付き健全性、自己整合性、客観的健全性の関係を明確化すること。
• $\pi_O\mathbf{R}$ が $\mathbf{PR_A}$ に対して相対的に整合的であるかどうかを、複雑度制御された反復における無限降下の分析を通じて検討すること。

提案手法

• PR 写像の演繹木に対する反復的評価 $\varepsilon$ を構築し、辞書的順序における順序数 $O = \mathbb{N}[\omega]$ 内の複雑度の降下を測定する。
• 非無限降下スキーマ $\pi_O$ を $\mathbf{PR_A}$ のやや強い拡張として導入し、$O$ 内に無限降下列が存在しないことを保証する。
• PR 複雑度関数 $c: A \to O$ と先行者関数 $p: A \to A$ を用いて、降下および定常性条件を満たす複雑度制御反復（CCI）構造を定義する。
• 対偶 $\tilde{\pi}_O$ を用いて、無限降下を示す任意の述語 $\psi(a)$ は偽でなければならないと主張し、これにより終了性が保証される。
• 引数付き演繹木に構成的評価 $\varepsilon$ を適用し、$\mathbf{PR_A}$ および $\pi_O\mathbf{R}$ に対して終了条件付き健全性を証明する。
• 証明木における無限降下をブロックする $\tilde{\pi}_O$ スキーマを用いて、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\pi_O\mathbf{R} \vdash \neg \mathrm{Prov}_{\pi_O\mathbf{R}}(k, \ulcorner\mathrm{false}\urcorner)$ を導出し、$\pi_O\mathbf{R}$ の自己整合性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部整合性式 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$ は、反復的評価と順序数降下を用いて $\pi_O\mathbf{R}$ 内で構成的に導出可能か？
• RQ2 非無限降下スキーマ $\tilde{\pi}_O$ は、$\pi_O\mathbf{R}$ の自己整合性を証明するために不可欠であるか、それとも $\mathbf{PR_A}$ から単独で導出可能か？
• RQ3 $\mathbf{PR_A}$ の終了条件付き内部的健全性は、その自己整合性を意味するか？もしそうでなければ、追加の公理は何か？
• RQ4 $\pi_O\mathbf{R}$ の整合性は $\mathbf{PR_A}$ に対して相対的に確立可能か？特に、複雑度制御反復における無限降下の分析を通じて検討する。
• RQ5 $\pi_O\mathbf{R}$ の客観的健全性は、その自己整合性から導出可能か？また、それは内部的矛盾の不在を意味するか？

主な発見

• $\pi_O\mathbf{R} = \mathbf{PR_A} + (\pi_O)$ は、自身の内部整合性式 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k) = \neg \mathrm{Prov}_{\pi_O\mathbf{R}}(k, \ulcorner\mathrm{false}\urcorner)$ を証明でき、構成的評価によって自己整合性が確立される。
• 非無限降下スキーマ $\tilde{\pi}_O$ は、証明木における無限降下をブロックするために不可欠である。これがないと、内部的矛盾を排除できない。
• $\mathbf{PR_A}$ に対して終了条件付き内部的健全性が成立する。これは、ある演繹木が有限ステップで評価されるならば、その結論は真であることを意味する。
• $\pi_O\mathbf{R}$ の客観的健全性は、その自己整合性から導かれる。これは、すべての定理が標準モデルにおいて真であることを示唆する。
• $\tilde{\pi}_O$ スキーマは $\mathbf{PR_A}$ 内で導出可能でないため、$\mathbf{PR_A}$ だけでは自身の整合性を証明できない。
• 構成的評価 $\varepsilon$ は、一般再帰関数の評価を $O = \mathbb{N}[\omega]$ 上の CCI 構造に還元し、順序数に基づく終了証明を可能にする。