[論文レビュー] Reach-Avoid Problems via Sum-of-Squares Optimization and Dynamic Programming

Benoit Landry, Mo Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Advanced Control Systems Optimization参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、到達・回避集合を計算し、安全な状態を避ける一方で目標集合への到達を保証するフィードバック制御則を合成するため、二乗和（SOS）最適化と動的計画法を組み合わせた手法を提案する。この手法により、多項式ダイナミクスにおける6次元の到達・回避集合のスケーラブルな計算が可能となり、悪意のある摂動に対しても形式的な安全性保証が得られる。実装例として運動学的カー・モデルで有効性が確認された。

ABSTRACT

Reach-avoid problems involve driving a system to a set of desirable configurations while keeping it away from undesirable ones. Providing mathematical guarantees for such scenarios is challenging but have numerous potential practical applications. Due to the challenges, analysis of reach-avoid problems involves making trade-offs between generality of system dynamics, generality of problem setups, optimality of solutions, and computational complexity. In this paper, we combine sum-of-squares optimization and dynamic programming to address the reach-avoid problem, and provide a conservative solution that maintains reaching and avoidance guarantees. Our method is applicable to polynomial system dynamics and to general problem setups, and is more computationally scalable than previous related methods. Through a numerical example involving two single integrators, we validate our proposed theory and compare our method to Hamilton-Jacobi reachability. Having validated our theory, we demonstrate the computational scalability of our method by computing the reach-avoid set of a system involving two kinematic cars.

研究の動機と目的

• 悪意のある摂動が存在する状況下でも形式的な安全性保証を得られる高次元系の到達・回避集合の計算に取り組む。
• 多項式ダイナミクスおよび任意の問題設定を対象としつつ、到達・回避解析における計算複雑性を低減する。
• 目標集合への到達を保証するとともに、危険な状態を避けることを保証するスケーラブルで保守的なフィードバック制御則の合成手法を開発する。
• 従来のハミルトニアン・ジャコビ法の6次元制限を超えたシステムに到達・回避制御を適用可能にする。
• SOS最適化と動的計画法を組み合わせることで、最適性を計算可能性に妥協させる

提案手法

• 本手法は、離散時間ステップにおける動的計画法の再帰的定式化として到達・回避問題を定式化し、値関数を二乗和（SOS）多項式で定義する。
• Lyapunovに類似した条件をSOSプログラミングにより強制することで、回避集合の不変性と目標集合への到達可能性を保証する。
• SOS制約から導かれる半定値計画問題を解くことで、次数が制限された多項式制御則および値関数を求める。
• 時間離散化を動的計画法の再帰に適用し、三角関数項についてはチェビシェフ多項式展開を用いて状態空間を近似する。
• 制御則は、最悪の悪意ある行動を含む任意の摂動方針に対しても、形式的にロバストであることが保証されるフィードバック方策として合成される。
• スラックや収束許容誤差などのハイパーパrameterは、保守的さと計算効率のバランスを取るために調整される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SOS最適化を動的計画法と効果的に組み合わせることで、高次元系の到達・回避集合を計算可能か？
• RQ2 6次元系において、本手法はハミルトニアン・ジャコビ到達可能性法と比較して、計算スケーラビリティと保守的さの面で優れているか？
• RQ3 多項式ダイナミクスをチェビシェフ展開でどの程度近似可能か、SOSベースの解析を可能にするか？
• RQ4 本手法は、動的障害物環境下の運動学的車両に対して、形式的保証付きのフィードバック制御則を生成可能か？
• RQ5 SOSベースの到達・回避集合計算において、解の保守的さと計算の実行可能性のトレードオフはいかほどか？

主な発見

• 本手法は、多項式ダイナミクスを有する2台の運動学的カーに対して、従来のハミルトニアン・ジャコビ法では不可能であった6次元の到達・回避集合を成功裏に計算した。
• 計算された到達・回避集合は保守的であるが、防衛者の方策にかかわらず、攻撃者が目標に到達し、防衛者と衝突しないことを形式的に保証している。
• シミュレーションにより、計算された到達・回避集合に属するすべての軌道が、回避制約に違反することなく目的に到達することが確認された。
• 計算は、AMD Ryzen 7 1800Xと32GB RAMを搭載した標準デスクトップ上で約4時間で実行され、SpotlessツールボックスとMOSEKソルバが使用された。
• Lyapunovに類する関数および制御則多項式にSOS制約を課えることで、形式的な安全性保証が達成された。
• テストでは、固定方向に最大速度を発揮する防衛者を想定したが、本手法は任意の摂動方針に対してロバストであることが示された。