[論文レビュー] Reachability analysis of first-order definable pushdown systems

Lorenzo Clemente, Sławomir Lasota|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、可算無限構造（アトムと呼ばれる）上で第一階論理で定義可能なプッシュダウンシステム（FO-definable PDS）を導入し、無限の制御状態とスタックアルファベットを有するシステムの到達可能性解析を可能にする。記号的飽和技法を用いて、オリゴモーフィックアトムにおいて有効な正則性保存を確立し、同型なアトムにおいてはExpTimeの計算量上限を提供する。これは、プッシュダウンレジスタオートマトンや他の無限アルファベットモデルに関する既知の結果を包含・一般化する。

ABSTRACT

We study pushdown systems where control states, stack alphabet, and transition relation, instead of being finite, are first-order definable in a fixed countably-infinite structure. We show that the reachability analysis can be addressed with the well-known saturation technique for the wide class of oligomorphic structures. Moreover, for the more restrictive homogeneous structures, we are able to give concrete complexity upper bounds. We show ample applicability of our technique by presenting several concrete examples of homogeneous structures, subsuming, with optimal complexity, known results from the literature. We show that infinitely many such examples of homogeneous structures can be obtained with the classical wreath product construction.

研究の動機と目的

• 可算無限構造上の第一階論理で定義可能な集合を用いて、無限アルファベットへの古典的プッシュダウンシステムの到達可能性を拡張すること。
• 無限の制御状態とスタック記号を有するシステムにおける到達可能性解析のための飽和技法を一般化すること。
• 同型アトム上でのFO-definable PDSにおける到達可能性の厳密な計算量上限を提供すること。
• 単一の論理的枠組みの下で、既知の無限状態プッシュダウンモデルの決定可能クラスを統一・一般化すること。
• 多様な例（順序、同値関係、ネストされた関係を有するデータモデルなど）を通じて、フレームワークの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 固定された可算無限構造（アトム）上で第一階論理で定義可能な集合を用いて、標準的なプッシュダウンシステムを再解釈し、有限集合を定義可能集合に置き換える。
• オリゴモーフィック構造の軌道有限性を活用して、記号的飽和アルゴリズムを適用し、有効な正則性保存を保証する。
• 自己同型不変性と定義可能性を用いて、無限の状態を明示的に列挙せずに到達可能性ステップをシミュレートする。
• 群の半直積構成（ wreath product construction ）を用いて、既存の構造から新しい同型構造を生成し、決定可能性と計算量の性質を保存する。
• 誘導部分構造問題を成分構造上の部分問題に還元し、同型の場合にはPTimeでのチェックを可能にする。
• 誘導部分構造問題への還元とFraïssé極限に関する既知の結果を用いて、計算量上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御状態とスタック記号が無限構造上で第一階論理で定義可能である無限状態プッシュダウンシステムに対して、飽和技法を一般化できるか？
• RQ2 下位のアトム構造のどの構造的性質が、FO-definable PDSの逆方向到達可能性における有効な正則性保存を保証するか？
• RQ3 同型アトム上でのFO-definable PDSにおける到達可能性の正確な計算量は何か？そして、それをタイトに境界づけられるか？
• RQ4 順序、同値関係、またはネストを有するデータワードなどの自然な無限アルファベットモデルは、このフレームワーク内で最適な計算量で捉えられるか？
• RQ5 半直積構成により、到達可能性が決定可能でかつ既知の計算量を持つ新たな無限個の同型構造を生成できるか？

主な発見

• オリゴモーフィックアトム上でのFO-definable PDSにおいて、正則性の有効保存が成立し、飽和法が記号的かつ正しく、有効な手続きを提供する。
• 同型アトム上では、FO-definable PDSの到達可能性問題はExpTimeに属し、等価アトムにおける既知のタイトな計算量と一致する。
• このフレームワークは、既知のモデル（等価アトム上のプッシュダウンレジスタオートマトンなど）を捕捉・一般化し、最適な計算量を達成する。
• 普遍的グラフ、普遍的トーナメント、普遍的部分順序アトムはすべて同型であり、ExpTimeでの到達可能性を有し、決定可能な無限状態モデルの範囲を拡張する。
• 半直積構成により、基本的な構造から無限個の新たな tractable な同型構造が生成され、ExpTime計算量上限が保存される。
• オリゴモーフィックアトム上でのFO-definable PDA と FO-definable CFG は、同一の言語クラスを定義し、標準的な言語理論的演算に関して閉じている。