[論文レビュー] Reachability and Distances under Multiple Changes

Samir Datta, Anish Mukherjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Data Management and Algorithms参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、動的記述的複雑性を拡張し、有向グラフにおける到達可能性と距離を、算術演算(+, ×)または多数派量化子を用いた一階論理で複数の辺の変更のもとで維持できることを示している。到達可能性は、O(log n / log log n) 個のノードに影響を与える変更に対して DynFO(+, ×) に属することを証明し、O(log^c n) 個のノードに対しては多数派量化子を用いた DynFO に属することを示している。これは、Sherman-Morrison-Woodbury 恒等式を用いた行列の逆行列計算および FO+Maj における行列式の計算を応用している。

ABSTRACT

Recently it was shown that the transitive closure of a directed graph can be updated using first-order formulas after insertions and deletions of single edges in the dynamic descriptive complexity framework by Dong, Su, and Topor, and Patnaik and Immerman. In other words, Reachability is in DynFO. In this article we extend the framework to changes of multiple edges at a time, and study the Reachability and Distance queries under these changes. We show that the former problem can be maintained in DynFO(+, x) under changes affecting O({log n}/{log log n}) nodes, for graphs with n nodes. If the update formulas may use a majority quantifier then both Reachability and Distance can be maintained under changes that affect O(log^c n) nodes, for fixed c in N. Some preliminary results towards showing that distances are in DynFO are discussed.

研究の動機と目的

• 論文の目的は、単一のタプル更新にとどまらず、複数の辺の変更を扱えるように動的記述的複雑性フレームワークを拡張することにある。
• 複数のノードや辺が同時に変更された場合に、到達可能性および距離クエリを効率的に維持できるかどうかを調査すること。
• 影響を受けるノードの数の尺度として、これらのクエリが DynFO(+, ×) や多数派を含む DynFO といった低複雑性論理クラスで維持可能である範囲を同定すること。
• 静的複雑性（例：到達可能性の NL）と動的複雑性のギャップを埋めるために、非定数サイズの変更に対しても動的維持が可能であることを示すこと。
• 距離の維持が DynFO で可能かどうかを検討し、動的複雑性における主要な未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 形式的べき級数と行列近似を用いて隣接行列の逆行列を表現し、逐次的な更新を可能にする。
• 変更後の行列の逆行列を更新するために Sherman-Morrison-Woodbury 恒等式を適用し、行列 U, B, V を用いて辺の更新を低ランク摂動に分解する。
• 多項式符号化による到達可能性を扱うために、Z[[x]]^n×n 内で n 次までの切り捨てを施した n-近似を維持する。
• 小さい行列（サイズ O(log^c n)）の行列式計算は、均一な TC0 により達成され、これは FO+Maj(+, ×) に等価であり、多数派量化子の使用を可能にする。
• より大きな変更に対しては、均一な NC1 で行列式を計算することで、O(2^√(log n / log*n)) 個のノードに影響を与える変更に対して DynNC1 で結果を得る。
• 動的プログラムは、算術演算と多数派量化子を用いた一階論理式により補助関係を更新し、指定された論理クラスで維持可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(log n / log log n) 個のノードに影響を与える変更に対して、到達可能性は DynFO(+, ×) で維持可能か？
• RQ2 O(log^c n) 個のノードに影響を与える変更に対して、到達可能性および距離は、任意の固定された c ∈ N に対して多数派を含む DynFO で維持可能か？
• RQ3 最短距離を FO+Maj(+, ×) クエリで抽出できるような補助データを、DynFO(+, ×) で維持可能か？
• RQ4 到達可能性および距離が低複雑性動的論理クラスで維持可能である範囲として、影響を受けるノード数の最大クラスは何か？
• RQ5 到達可能性の維持に用いられた技術を拡張し、距離を DynFO で維持可能か、動的複雑性における主要な未解決問題に取り組めるか？

主な発見

• O(log n / log log n) 個のノードに影響を与える変更に対して、到達可能性は DynFO(+, ×) で維持可能であり、単一辺更新に限られた先行研究を拡張している。
• 多数派量化子を追加することで、任意の固定された c ∈ N に対して、O(log^c n) 個のノードに影響を与える変更に対して、到達可能性および距離が DynFO で維持可能である。
• 多項式係数をもつ k × k 行列の行列式は、k ∈ O(log^c n) の範囲で FO+Maj(+, ×) で計算可能であり、これにより Sherman-Morrison-Woodbury 恒等式のこの論理内での使用が可能になる。
• O(2^√(log n / log*n)) 個のノードに影響を与える変更に対しては、到達可能性および距離が DynNC1 で維持可能であり、より大きな変更に対してもスケーラビリティが示されている。
• 本論文は、DynFO(+, ×) で距離関連情報を維持するフレームワークを提供し、最短距離は FO+Maj(+, ×) クエリで抽出可能であるため、距離が DynFO に属することの証明への道筋を示している。
• 結果として、低複雑性論理クラスにおける行列の逆行列計算および行列式計算が、非定数サイズの変更に対しても到達可能性および距離の動的維持を可能にすることを示している。