[論文レビュー] Reachability in Controlled Markovian Quantum Systems

Frederik vom Ende|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 199被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、制御されたマルコフ連立量子系における到達可能性の作用素理論的基盤を確立し、初期状態に大きな順序で支配される任意の量子状態が、スイッチ可能な Lindblad 型ノイズを伴う双線形制御によって近似的に到達可能であることを証明する。主な貢献は、有限次元における主要化理論を無限次元に拡張し、一般のユニタルな開放系動的下で、すべての主要化された状態が近似的に到達可能であることを示したことである。

ABSTRACT

In quantum systems theory one of the fundamental problems boils down to: Given an initial state, which final states can be reached by the dynamic system in question? Formulated in the framework of bilinear control systems, the evolution shall be governed by an inevitable Hamiltonian drift term, finitely many control Hamiltonians allowing for (at least) piecewise constant control amplitudes, plus a (possibly bang-bang switchable) noise term in Kossakowski-Lindblad form. Now assuming switchable coupling of finite-dimensional systems to a thermal bath of arbitrary temperature, the core problem of reachability boils down to studying points in the standard simplex amenable to two types of controls that can be used interleaved: Permutations within the simplex, and contractions by a dissipative one-parameter semigroup. We illustrate how the solutions of the core problem pertain to the reachable set of the original controlled Markovian quantum system. This allows us to show that for global as well as local switchable coupling to a temperature-zero bath one can generate every quantum state from every initial state up to arbitrary precision. Moreover we present an inclusion for non-zero temperatures as a consequence of our results on d-majorization. Then we consider infinite-dimensional open quantum-dynamical systems following a unital Kossakowski-Lindblad master equation extended by controls. Here the drift Hamiltonian can be arbitrary, the finitely many control Hamiltonians are bounded, and the switchable noise term is generated by a single compact normal operator. Via new majorization results of ours, we show that such bilinear quantum control systems allow to approximately reach any target state majorized by the initial one, as up to now only has been known in finite-dimensional analogues.

研究の動機と目的

• 双線形動的およびスイッチ可能なノイズを伴う制御されたマルコフ連立量子系において、与えられた初期状態から到達可能な量子状態を特定すること。
• 特にユニタルな開放系動的下での文脈において、有限次元の主要化理論を無限次元量子系に拡張すること。
• 初期状態に主要化される状態の集合が無限次元でトレースノルム位相に関して閉じていることを確立し、近似のもとでも到達可能性のロバストネスを保証すること。
• 置換および縮小制御下での到達可能状態を特徴付けるために、d-主要化ポリトープの構造を分析すること。
• 正定値線形写像の集合が開凸半群をなすことを証明し、正性を保つ動的下での安定性を支援すること。

提案手法

• 無限次元ヒルベルト空間における主要化に関する新しい結果を構築し、与えられた初期状態に主要化される状態の集合がトレースノルム位相で閉じていることを証明する。
• 有限次元のベクトルにおける d-主要化を分析し、d-主要化ポリトープが高々 n! 個の極点を持つ凸集合であることを示す。
• 置換の対称性と縮小半群（Kossakowski-Lindblad 型生成子から導かれる）を組み合わせた幾何的枠組みを導入し、制御作用をモデル化する。
• 熱いバスタッチにスイッチ可能な結合を持つ開放系に理論を適用し、制御を交互に置換と散逸的進化としてモデル化する。
• 無限次元動的を分析するため、ユニタリ拡大技術と Schatten-クラス作用素に対するトレース不等式を用いる。
• Hille-Yosida 定理とスペクトル論を用いて半群の生成子を特徴付け、動的の適切な定義を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スイッチ可能な Lindblad 型生成子を伴う無限次元ユニタルな開放系において、初期状態に主要化される任意の量子状態が近似的に到達可能か。
• RQ2 標準単体内における交互に置換と縮小制御を用いた場合、到達可能状態の集合の構造はいかなるものか。
• RQ3 有限次元の玩具的モデルにおける d-主要化が、制御された量子系の到達可能集合に与える制約は何か。
• RQ4 正定値線形写像の集合は、有界作用素の位相において閉じており、かつ開いているか。この性質は制御のロバストネスにどのような含意を持つか。
• RQ5 制御されたマルコフ連立量子系の到達可能集合が、初期状態の主要化ポリトープにおいて稠密であるための条件は何か。

主な発見

• 任意の初期状態に主要化されるすべての量子状態の集合は、無限次元ヒルベルト空間であってもトレースノルム位相で閉じている。
• 任意の R^n 内の初期ベクトルに対する d-主要化ポリトープは、高々 n! 個の極点を持つ凸集合であり、初期ベクトルが非負であれば、1 つの極点が他のすべての極点を古典的に主要化する。
• 温度零のバスタッチへのグローバルまたはローカルなスイッチ可能な結合の場合、置換と縮小半群の相互作用により、任意の初期状態から任意の量子状態を近似的に生成可能である。
• 非零の温度バスタッチの場合、d-主要化を用いて到達可能状態の包含関係を導出し、到達可能集合の定量的評価を得る。
• 有界な制御ハミルトニアンと、スイッチ可能なノイズを生成する単一のコンパクト正規作用素を伴う無限次元ユニタルな開放系において、初期状態に主要化される任意のターゲット状態は近似的に到達可能である。
• 正定値線形写像の集合は、作用素位相において開凸半群をなしており、制御動的の小さな摂動に対しても正性が保たれることを保証する。