[論文レビュー] Reachable states and holomorphic function spaces for the 1-D heat equation

Marcu-Antone Orsoni|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、区間 $[0,\pi]$ 上の1次元熱方程式に対して境界制御を行う場合、到達可能な状態が、対角線 $[0,\pi]$ を持つ正方形領域 $D$ に交わる2つのセクタ上のBergman空間の和にちょうど一致することを確立している。さらに、この和空間が、Smirnov-Zygmund空間 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ と $D$ 上の特定の重み付きBergman空間を含むことを示し、既知のSmirnov空間とBergman空間の包含関係を精緻化している。

ABSTRACT

The description of the reachable states of the heat equation is one of the central questions in control theory. The aim of this work is to present new results for the 1-D heat equation with boundary control on the segment $[0, \\pi]$. In this situation it is known that the reachable states are holomorphic in a square $D$ the diagonal of which is given by $[0,\\pi]$. The most precise results obtained recently say that the reachable space is contained between two well known spaces of analytic function: the Smirnov space $E^2(D)$ and the Bergman space $A^2(D)$. We show that the reachable states are exactly the sum of two Bergman spaces on sectors the intersection of which is $D$. In order to get a more precise information on this sum of Bergman spaces, we also prove that it includes the Smirnov-Zygmund space $E_{L\\log^+\\!L}(D)$ as well as a certain weighted Bergman space on $D$.

研究の動機と目的

• 1次元熱方程式の境界制御による到達可能状態を、$[0,\pi]$ 上で正確に特徴付けること。
• 既知の包含関係 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$ を精緻化し、到達可能集合の正確な関数空間構造を同定すること。
• 到達可能空間が、正方形領域 $D$ に交わる2つのセクタ上のBergman空間の和にちょうど一致することを示し、これにより従来の結果よりも鋭い記述が得られること。

提案手法

• 到達可能状態を分析するために、特に正則関数空間の理論を用いた複素解析的手法の使用。
• 必要な関数分解を構成するために、複変数関数における第一コーシー問題の応用。
• 共形写像と熱核の構造を活用し、到達可能状態を正方形領域 $D$ 上の正則関数に関連付ける。
• 重み付きBergman空間とSmirnov-Zygmund空間 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ を用いて、関数空間特徴付けを精緻化する。
• 零制御可能性の性質を用いて、到達可能空間が初期条件および時間に依存しないことを示し、解析を $\mathcal{R}_\tau = \text{Ran}\, \Phi_\tau$ に単純化する。
• 分区関数と $\overline{\partial}$-問題の解法を用いて、到達可能空間に属する関数を2つのセクタ上のBergman空間に成分分解することで証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元熱方程式の境界制御による到達可能状態の正確な関数空間構造は何か？
• RQ2 到達可能空間はセクタ上のBergman空間の和として特徴付けられるか？ もしそうならば、$E^2(D)$ と $A^2(D)$ 間の既知の包含関係はどのように精緻化されるか？
• RQ3 到達可能空間は、Smirnov-Zygmund空間 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ と $D$ 上の重み付きBergman空間を含むか？
• RQ4 到達可能空間を2つのBergman空間に分解することは最適か？ また、第一コーシー問題を用いることで改善可能か？

主な発見

• 1次元熱方程式の $[0,\pi]$ 上での到達可能状態は、対角線 $[0,\pi]$ を持つ正方形領域 $D$ に交わる2つのセクタ上のBergman空間の和にちょうど一致する。
• この和空間は、Smirnov-Zygmund空間 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ を厳密に含み、既知の包含関係 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$ を精緻化している。
• 到達可能空間は、$D$ 上の特定の重み付きBergman空間をも含んでおり、関数空間記述をさらに精緻化している。
• 平均値定理により、$\overline{\partial}$-問題における分区関数の導関数に関する条件を改善できないことから、結果は最適である。
• 零制御可能性のため、到達可能空間は初期条件および時間 $\tau > 0$ に依存しない。
• 正方形領域 $D$ の幾何的構造を持つ領域における正則関数の文脈で、第一コーシー問題の解法を通じて、特徴付けが達成された。