[論文レビュー] Reaction-Diffusion Systems in Epidemiology

Sebastian Aniţa, Vincenzo Capasso|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間的に構造化された疫病をモデル化する反応拡散系を開発し、人間−環境−人間型疾患およびマラリアに焦点を当てる。時間周期的システムの主固有値解析を用いて安定化を証明することで、特定のサブドメインにおけるフィードバック制御を用いた地域的制御戦略を導入し、全生息域にわたる指数的根絶を達成する。

ABSTRACT

A key problem in modelling the evolution dynamics of infectious diseases is the mathematical representation of the mechanism of transmission of the contagion. Models with a finite number of subpopulations can be described via systems of ordinary differential equations. When dealing with populations with space structure the relevant quantities are spatial densities, whose evolution in time requires nonlinear partial differential equations, which are known as reaction-diffusion systems. Here we present an (historical) outline of mathematical epidemiology, with a particular attention to the role of spatial heterogeneity and dispersal in the population dynamics of infectious diseases. Two specific examples are discussed, which have been the subject of intensive research by the authors, i.e. man-environment-man epidemics, and malaria. In addition to the epidemiological relevance of these epidemics all over the world, their treatment requires a large amount of different sophisticate mathematical methods, and has even posed new non trivial mathematical problems, as one can realize from the list of references. One of the most relevant problems posed by the authors, i.e. regional control, has been emphasized here: the public health concern consists of eradicating the disease in the relevant population, as fast as possible. On the other hand, very often the entire domain of interest for the epidemic, is either unknown, or difficult to manage for an affordable implementation of suitable environmental programmes. For regional control instead it might be sufficient to implement such programmes only in a given subregion conveniently chosen so to lead to an effective (exponentially fast) eradication of the epidemic in the whole habitat; it is evident that this practice may have an enormous importance in real cases with respect to both financial and practical affordability.

研究の動機と目的

• 反応拡散系を用いて、通常の微分方程式の compartmental モデルを超えた空間的構造を持つ感染症動態をモデル化すること。
• 大規模または部分的にアクセス不可能な地域における疫病の制御を、戦略的に選ばれたサブ領域に限定した干渉を焦点として取り扱うこと。
• サブドメインにおけるフィードバック制御が、病気の全般的な指数的根絶に至る条件を確立すること。
• 時間周期的感染率を有する疫病システムの安定性を、固有値問題のスペクトル理論を用いて分析すること。
• 形状最適化問題として定式化することで、公衆衛生介入における最適なサブ領域選定のための数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 空間領域 $ \Omega $ で進化する、人口密度 $ u_1 $（例：感受性者）と環境中的な病原体負荷 $ u_2 $ の2成分からなる反応拡散系を定式化する。
• 干渉入力 $ v $ がサブドメイン $ \omega \subset \overline{\omega} $ のみに作用するように設定し、清掃や媒介虫制御などの標的的介入を表現する。
• 非線形感染率 $ g(u_1) $ を用い、時間周期的感染関数 $ p(t) $ を組み込むことで、季節的または周期的な感染パターンをモデル化する。
• 線形化系の時間周期的固有値問題（3.8）を通じて安定性を分析し、主固有値 $ \lambda_1^T(\omega) $ を定義する。
• サブドメイン $ \omega $ でフィードバック制御 $ v = -\gamma u_1 $ を適用し、$ \lambda_1^T(\omega) > 0 $ であれば、システムがゼロ安定化可能であることを証明する。
• 微分係数 $ g'(0) $ を用いた局所安定化に拡張し、修正された固有値 $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ を導入し、局所的および全般的な安定性の条件を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 病気が全生息域にわたって根絶可能となる条件は何か？ ただし、制御措置は全生息域の一部であるサブ領域に限定される。
• RQ2 時間周期的反応拡散系の主固有値が、疫病モデルの安定性および可制御性をどのように決定するか？
• RQ3 非線形感染率および時間周期的感染率が、空間的に構造化された疫病のダイナミクスに果たす役割は何か？
• RQ4 局所的サブドメインにおけるフィードバック制御は、全ドメインにわたる病気負荷の指数的減少を引き起こすことができるか？
• RQ5 最大の根絶効率を得るために、制御サブドメインの最適な位置とサイズを数学的にどのように特定できるか？

主な発見

• 主固有値 $ \lambda_1^T(\omega) > 0 $ であれば、十分に大きな $ \gamma $ に対してフィードバック制御 $ v = -\gamma u_1 $ を用いることで、システムはゼロ安定化可能であり、病気の全般的な指数的減少が保証される。
• 局所安定化に関しては、$ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) > 0 $ であることが必要かつ十分であり、ここで $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ は線形化系における $ g'(0) $ を用いた主固有値である。
• $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) < 0 $ の場合、システムは局所的にゼロ安定化可能ではなく、$ \omega $ における地域的制御では病気が根絶できないことを示唆する。
• 固有値 $ \lambda_1^T(\omega) $ は常に $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ 以下であることが保証され、線形化アプローチの保守的性質を反映している。
• パrameters $ a_{11}, a_{22}, k $、および $ p(t) $ が時間周期的である場合にも結果は拡張可能であり、季節的疫病への応用範囲が広がる。
• 今後の研究では、最適なサブドメイン選定問題を形状最適化問題として解き、制御のための最良の空間的配置を同定することを目的としている。