[論文レビュー] Reactive Social distancing in a SIR model of epidemics such as COVID-19

Rose Baker|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、感染率が感染割合が上昇するにつれて減少する反応型の社会的距離の取り方をSIR枠組み内で提案している。感染率はヒル関数を用いてモデル化され、最終的な流行規模およびピーク感染割合の解析的解が導出され、極端な反応型距離の取り方が感染を最小限に抑えるが、流行を長引かせることが示された。これは、COVID-19のようなパンデミック時における健康的影響と経済的影響のバランスを取るための意思決定支援ツールを提供する。

ABSTRACT

A model of reactive social distancing in epidemics is proposed, in which the infection rate changes with the number infected. The final-size equation for the total number that the epidemic will infect can be derived analytically, as can the peak infection proportion. This model could assist planners during for example the COVID-19 pandemic.

研究の動機と目的

• 感染レベルの上昇に応じて接触率が低下する自己組織的または政府主導の社会的距離の取り方が、感染伝播率に与える影響をモデル化すること。
• このような反応的行動下での最終的流行規模およびピーク感染割合の解析的表現を導出すること。
• パンデミック発生時における政策意思決定を支援するため、流行の結果を推定できる実用的なモデルを提供すること。
• 固定された接触率の削減とは異なり、距離の取り方の解除後も流行の再発を防ぐ反応型距離の取り方が有効であることを示すこと。

提案手法

• 定数の伝播率βをβ(t) = β / (1 + γi(t))に置き換え、接触率を感染割合i(t)に対して逆比例させる。
• フィードバック機構をモデル化するためヒル型関数を用い、現実的な行動反応を捉えつつ解析的可解性を保証する。
• 時間変数を除去し、感受性sを変数として感染ダイナミクスを記述することで、i(s)に関する微分方程式を導出する。
• 標準的手法（補助関数および特殊積分）を用いて得られた常微分方程式を解き、境界条件s=1, i=0を設定する。
• 最終的規模方程式を導出する際、i(∞) = 0としてs∞に関する非線形方程式を得る。この方程式はニュートン・ラプソン法を用いて数値的に解ける。
• ピーク感染割合を求めるためにdi/ds = 0とし、得られた非線形方程式系を解く。これにより、s_maxおよびi_maxの閉形式表現が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感染レベルの上昇に応じて接触率が低下する反応型社会的距離の取り方が、SIRモデルにおける最終的流行規模に与える影響は何か？
• RQ2 このようなフィードバック機構下で、ピーク感染割合および最終的規模の解析的表現を導出できるか？
• RQ3 社会的距離の取り方が極めて反応的（γ → ∞）である場合、流行の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ4 固定された接触率の削減モデルと比較して、距離の取り方の解除後に流行の再発を防ぐ点で、本モデルはどのように異なるか？
• RQ5 感染を最小限に抑えつつ、経済的および医療システムの圧力をバランスさせる最適な反応型距離の取り方のレベルは何か？

主な発見

• 最終的規模方程式は、s∞^(γ/R₀) = [1/γ + s∞/(1 - γ/R₀)] / [1/γ + 1/(1 - γ/R₀)] として導出され、s∞については数値的に解ける。
• γ → ∞のとき、感染しなかった割合の最終的割合は1/R₀に近づき、集団免疫の理論的最小値に達する。
• ピーク感染割合i_maxは、i_max = (R₀/γ) × [ (1 - γ/R₀ + γ)/R₀ ]^(1/(1 - γ/R₀)) - 1/γ で与えられる。
• γ = R₀のとき、解はi(s) = (s - 1)/R₀ - s ln sに簡略化され、一般解の極限と一致する。
• γ → 0のとき、s_max → 1/R₀およびi_max → 0となり、標準的なSIRモデルの挙動が回復される。
• ピーク感染時、有効再生産数R₀ / (1 + γ i_max) → 1となる。これは、γ → ∞のとき、流行がピークでわずかに持続可能であることを示している。