[論文レビュー] Reactive Valuations

Chris Regenboog|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、評価順序が原子命題の真理値に依存する逐次命題論理における反応的評価を調査する。4つの反応的評価クラス（自由、繰り返し耐性、収縮的、静的）について、公理の健全性、完全性、独立性を確立し、2つのクラスについてω完全性を証明するとともに、自動定理証明のための収束する項書き換えシステムを提示する。

ABSTRACT

In sequential logic there is an order in which the atomic propositions in an expression are evaluated. This order allows the same atomic proposition to have different values depending on which atomic propositions have already been evaluated. In the sequential propositional logic discussed in this thesis, such valuations are called "reactive" valuations, in contrast to "static" valuations as are common in e.g. ordinary propositional logic. There are many classes of these reactive valuations e.g., we can define a class of reactive valuations such that the value for each atomic proposition remains the same until another atomic proposition is evaluated. This Master of Logic thesis consists of a study of some of the properties of this logic. We take a closer look at some of the classes of reactive valuations. We particularly focus on the relation between the axiomatization and the semantics. Consequently, the main part of this thesis focuses on proving soundness and completeness. Furthermore, we show that the axioms in the provided axiomatizations are independent i.e., there are no redundant axioms present. Finally, we show ω-completeness for two classes of reactive valuations.

研究の動機と目的

• 評価順序が真理値に影響を与える逐次命題論理における反応的評価を形式化し分析すること。
• 自由、繰り返し耐性、収縮的、静的の4つの異なる反応的評価クラスについて、公理化の健全性と完全性を確立すること。
• 各公理化における公理の独立性を証明し、冗長性がないことを保証すること。
• 自由および静的評価クラスについてのω完全性を示すこと。
• 自動推論を支援するための収束する項書き換えシステムを構築し、検証すること。

提案手法

• 逐次評価をモデル化するため、三項条件演算子（if-then-else）を $\_⋆\triangleleft\_⋆\triangleright\_⋆$ で表す。
• 評価履歴に依存する関数として評価を定義し、$a/H$ および $\partial/\partial a(H)$ で状態の変化を表現する。
• 項書き換えシステムを用いて式を正規化し、$c(X,1,Y) \to X$、$c(1,X,0) \to X$、およびネストされた条件式の分配則などの規則を適用する。
• ダイアモンド補題を用いて局所的合流性およびチャーチ＝ロッサー性を証明し、一意な正規形が保証されることを示す。
• 正規形の計算により項の等価性をチェックするため、書き換えシステムを基にしたPrologベースの定理証明器を実装する。
• モデル理論的意味論と証明論的手法を併用して、各評価クラスについて健全性と完全性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反応的評価は、逐次命題論理においてどのように形式的に定義され分類可能か？
• RQ2 提示された公理化は、各反応的評価クラスについて健全かつ完全か？
• RQ3 各公理化における公理は互いに独立しているか、すなわち他の公理から導出可能でないか？
• RQ4 自由および静的評価のような主要な評価クラスについて、論理がω完全性を満たすか？
• RQ5 この論理における自動推論を支援する収束する項書き換えシステムを構築可能か？

主な発見

• 自由反応的評価の公理化は健全かつ完全であり、すべての公理が独立している。
• 繰り返し耐性、収縮的、静的評価についても同様に、公理が独立に導出されており、健全かつ完全である。
• 自由評価のための項書き換えシステム $R_{fr}$ は収束するため、すべての項について一意な正規形が保証される。
• 論理は自由および静的評価クラスについてω完全であり、すべての妥当な恒等式が証明可能である。
• 書き換えシステムを基にしたPrologベースの定理証明器は、正規形の比較により項の等価性を正しく判定する。
• 臨界対の解析により局所的合流性が確認され、ダイアモンド補題を用いることで、システムはチャーチ＝ロッサーかつ合流的である。