[論文レビュー] Real and complex unbiased Hadamard matrices

Máté Matolcsi, Imre Z. Ruzsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、組み合わせ論的およびフーリエ解析的手法を用いて、任意の次元における完全な複素相互偏り付きヘルミート行列系（MUH）に、最大で1つの実ヘルミート行列しか含められないことを証明する。次元6における完全なMUH系にフーリエ行列$F_6$が含まれないことは、直交性制約とフーリエ領域におけるベクトル和から導かれる多項式恒等式に依拠して、コンピュータを用いない新しい証明が与えられる。

ABSTRACT

We use combinatorial and Fourier analytic arguments to prove various non-existence results on systems of real and complex unbiased Hadamard matrices. In particular, we prove that a complete system of complex mutually unbiased Hadamard matrices (MUHs) in any dimension $d$ cannot contain more than one real Hadamard matrix. We also give new proofs of several known structural results in low dimensions, for $d\le 6$.

研究の動機と目的

• 低次元における相互偏り付きヘルミート行列（MUH）系の構造的および非存在的結果を確立すること。
• 次元6における完全なMUH系がフーリエ行列$F_6$を含めるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 任意の次元における完全なMUH系が1つより多くの実ヘルミート行列を含めないことを証明すること。
• 次元6における$F_6$が完全なMUH系に含まれないことを、コンピュータに依存しない新しい証明で示すこと。
• 未知の列ベクトルに対する制約を導く際の予想の役割を調査すること。

提案手法

• 整数ベクトル$\gamma_k \in \mathbb{Z}^d$に付随するベクトル和$\mathbf{v}(\gamma_k)$を解析するために離散フーリエ解析を用いる。
• $\mathbf{v}(\gamma_k)$ベクトルの直交性を用いて、$\mathbf{w} = \sum \mathbf{v}(\gamma_k)$に対して$\|\mathbf{w}\|^2 = \sum |\mathbf{v}(\gamma_k)|^2$を導出し、ノルム制約を得る。
• 既知の列ベクトル（例：$F_6$からのもの）を用いて$\mathbf{w}$の初期座標を固定し、残りの座標が0でなければならないことを示す。
• 残りの座標が0になることから、未知の列成分に対する代数的制約をもたらす多項式恒等式を導出する。
• インデックス集合の巡回置換を用いて、列ベクトルに対する複数の独立した制約を生成し、矛盾に至る。
• Conjecture 2.3（$\mathbb{Z}_6^6$上の関数のフーリエ変換の振る舞いに関するもの）を用いて、$F_6$の場合への議論を拡張する。その有効性を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元$d$における$d+1$個の相互偏り付きヘルミート行列の完全系は、1つより多くの実ヘルミート行列を含めることができるか？
• RQ2 フーリエ行列$F_6$は、次元6における任意の完全なMUH系に含まれるか？
• RQ3 広範なコンピュータ代数を用いずに、次元6における完全なMUH系の非存在性を証明できるか？
• RQ4 MUHの文脈において、複数のフーリエ解析的ベクトル和を組み合わせたとき、どのような代数的制約が生じるか？
• RQ5 直交性およびノルム制約から導かれる多項式恒等式は、未知の列ベクトルの構造にどのように矛盾を引き起こすか？

主な発見

• 任意の次元$d$における完全なMUH系は、最大で1つの実ヘルミート行列しか含めない。
• $\mathbf{w} = \sum_{k=1}^6 \mathbf{v}(\gamma_k)$のノルムは正確に216であり、このノルムは最初の6つの座標によって達成され、残りのすべての座標が0でなければならない。
• $\mathbf{w}$の最後の30個の座標が0になることから、$H_2, \dots, H_6$の未知の列ベクトルの成分に対して多項式恒等式$z_2 z_5^2 = z_1^2 z_4$が得られる。
• 巡回対称性を用いて、第二の恒等式$z_5 z_2^2 = z_4^2 z_1$が導かれ、その比から$z_5 / z_2 = z_1 / z_4$が得られるが、これは$\mathbf{v}(0,-1,0,0,1,0)$と$\mathbf{v}(1,0,0,-1,0,0)$の直交性に矛盾する。
• $F_6$の場合には、同様の議論により12個のベクトル$\gamma_k$を用い、$\|\mathbf{w}\|^2 = 432$が得られ、3つの座標の絶対値が12であることが分かっており、これにより33個の他の座標が0でなければならない。これにより、矛盾を起こす多項式制約が生成される。
• $F_6$が完全な系に含まれないという証明は、Conjecture 2.3に依存しており、これが真であれば、ノルム計算に必要な$\mathbf{v}(\gamma_k)$ベクトルの直交性が保証される。