[論文レビュー] Real and Image Fields of a Relativistic Bunch

B. B. Levchenko|DESY (CERN, DESY, Fermilab, IHEP, and SLAC)|Apr 3, 2006

Particle Accelerators and Free-Electron Lasers参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相対論的帯電バンチが二つの平行導体平面の間で発生する電磁界について、Laslettの画像法を用いて無限級数の画像電荷を総和することで、正確な解析的表現を導出する。画像電場構造関数が初等的三角関数を用いて閉形式で表現可能であることが示され、従来の線形近似を超えた正確な解が得られ、バンチからの任意の距離および壁付近の状況においても有効である。

ABSTRACT

We derive analytical expressions for external fields of a charged relativistic bunch with a circular cross section. At distances far from the bunch, the field reduces to the relativistic modified Coulomb form and in the near region, reproduce the external fields of a continuous beam. If the bunch is surrounded by conducting surfaces, the bunch self-fields are modified. Image fields generated by a bunch between two parallel conducting planes are studied in detail. Exact summation of image fields by the direct method invented by Laslett allows the infinite series to be represented in terms of elementary trigonometric functions.

研究の動機と目的

• 相対論的バンチが導体境界付近に近接する場合の画像電場をモデル化する際の線形近似の限界を解消すること。
• 円形断面を有する相対論的バンチが導体平面の存在下で発生する外部電磁界の正確な表現を導出すること。
• Laslettの画像法を線形項を超えて、無限級数の画像電荷を正確に総和することにより拡張すること。
• バンチからの近接領域および大距離領域においても有効な、場の解を提供すること、特にバンチ中心が導体壁に近接する場合を含む。
• 初等的三角関数を用いた閉形式の画像電場構造関数の表現を確立すること。

提案手法

• 相対論的補正を加えた電荷要素の積分を用いて、有限な相対論的バンチに対する相対論的修正クーロン場を導出する。
• 方程式 (3) の相対論的場の定式化を、ローレンツ収縮と相対論的電荷密度を考慮した有限な円筒形バンチに適用する。
• 二つの平行導体平面内のバンチに対して、無限級数の画像電荷を用いた画像法を適用する。
• Laslettの手法に基づく新規な総和技法を導入し、無限級数の画像電場を解析的に総和する。
• ベルヌーイ数およびオイラー数を含む特殊関数の恒等式を用いて、無限級数を簡略化する。
• 三角関数の恒等式を用いて、得られた級数を正割関数および正接関数を含む閉形式の表現に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの平行導体平面の間で発生する相対論的バンチの画像電場無限級数を、線形近似を超えて正確に総和する方法は何か？
• RQ2 このような系における電磁界構造関数の正確な解析的形は、バンチからのすべての距離で有効であるか？
• RQ3 標準的な線形近似が画像電場に破綻する条件は何か、そしてどのように是正できるか？
• RQ4 画像電場の総和を無限級数ではなく初等関数で表現できるか？
• RQ5 相対論的効果および有限なバンチ長は、バンチの近傍および遠方における場の分布にどのように影響するか？

主な発見

• 画像電場構造関数 Λ(Δ₁, Δ₂) が、三角関数の組み合わせとして閉形式で導出された：Λ(Δ₁, Δ₂) = (1/2){(π/4)[sec(πΔ₁/2) - tan(πΔ₁/2) + sec(πΔ₂/2) + tan(πΔ₂/2)] - 1/(1 - Δ₂)}
• 正確な解により、観測点がバンチから遠く離れている場合やバンチが導体壁に近接する場合における線形近似の破綻が解消された。
• 導出された表現は線形極限において既知の結果に一致し、先行研究との整合性が確認された。
• 本手法により、軸上や線形領域に限らない、導体平面間の全ギャップ領域における正確な場の計算が可能となった。
• ベルヌーイ数およびオイラー数を用いた特殊関数の使用により、画像寄与の無限級数の正確な総和が可能となった。
• 最終的な結果は、適切な極限において、以前の近似式（方程式 40 および 41）と同等であることが確認され、正しさが裏付けられた。