[論文レビュー] Real Computation with Least Discrete Advice: A Complexity Theory of Nonuniform Computability

Martin Ziegler|ArXiv.org|Nov 24, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異的行列のランク（n−1ビット）や対称行列の異なる固有値の個数（log₂nビット）を知ることで、不連続な問題が計算可能になることを示し、位相的および有効的ボレル階層解析を用いてタイトな境界を確立することで、非一様実計算の複雑性理論を確立する。

ABSTRACT

It is folklore particularly in numerical and computer sciences that, instead of solving some general problem f:A->B, additional structural information about the input x in A (that is any kind of promise that x belongs to a certain subset A' of A) should be taken advantage of. Some examples from real number computation show that such discrete advice can even make the difference between computability and uncomputability. We turn this into a both topological and combinatorial complexity theory of information, investigating for several practical problems how much advice is necessary and sufficient to render them computable. Specifically, finding a nontrivial solution to a homogeneous linear equation A*x=0 for a given singular real NxN-matrix A is possible when knowing rank(A)=0,1,...,N-1; and we show this to be best possible. Similarly, diagonalizing (i.e. finding a BASIS of eigenvectors of) a given real symmetric NxN-matrix is possible when knowing the number of distinct eigenvalues: an integer between 1 and N (the latter corresponding to the nondegenerate case). And again we show that N-fold (i.e. roughly log N bits of) additional information is indeed necessary in order to render this problem (continuous and) computable; whereas for finding SOME SINGLE eigenvector of A, providing the truncated binary logarithm of the least-dimensional eigenspace of A--i.e. Theta(log N)-fold advice--is sufficient and optimal.

研究の動機と目的

• 不連続な実関数を計算可能にするために必要な最小限の離散的アドバイスの形式的定式化と分析。
• 位相的および有効的ボレル構造に基づく非一様計算可能性の複雑性理論の構築。
• 線形方程式の解法や対称行列の対角化といった、線形代数および解析分野の主要問題に対する最適アドバイスの同定。
• 離散的アドバイスが、そうでなければ計算不能な問題の複雑性をどのように低減するかの特定と分析。
• タイプ2チューリング機械モデル内での有限離散的アドバイスを用いた、実数値版のチューリング＝チャーチの thesis の確立。

提案手法

• 関数 f が計算可能になるために必要な最小のアドバイスビット数を測定するための「レベル」（Lev(f)）の概念を用いる。
• 特に $2\text{--}\Sigma_1$ のクラスを含む有効的ボレル階層を、アドバイス集合の位相的複雑性を特徴付けるために適用する。
• スペクトル不変量（例えばランク、異なる固有値の個数）の下位計算可能性および下位連続性を用いて、関数が連続になる有効的開集合を構成する。
• Lemma 9d を用いて、アドバイス集合 $\operatorname{LEV}(f,i)$ が連続領域への最小分割を形成することを示す。
• 必要なアドバイスの下界を証明するために、「k-不連続性の証拠」という概念を用いる。
• スペクトル不変量から導かれる有効的開集合を介して、関数の定義域の位相的構造に帰着させることで、計算可能性の問題を解明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的実 $n\times n$ 行列 $A$ に対して $A\cdot\vec{x}=0$ を解く問題が計算可能になるために必要な最小の離散的アドバイス量は何か？
• RQ2 異なる固有値の個数が、対称行列の対角化を計算可能にするために最小のアドバイスであるか？
• RQ3 1つの固有ベクトルを求めるための最小アドバイスを特徴づけられ、それが最適であるか？
• RQ4 定義域の連続領域への分割が、サイズ最小かつ置換を除いて一意となる条件は何か？
• RQ5 有限離散的アドバイスを用いた実数値版のチューリング＝チャーチの thesis を定式化できるか？

主な発見

• 特異的実 $n\times n$ 行列 $A$ に対して $A\cdot\vec{x}=0$ を解く問題は、正確に $n$ ビットのアドバイス（つまり $\operatorname{rank}(A)\in\{0,1,\ldots,n-1\}$）が必要であり、これが最適である。
• 実対称 $n\times n$ 行列 $A$ の対角化は、異なる固有値の個数（1から $n$ の整数）がアドバイスとして与えられる場合に限り計算可能であり、$n$ ビットが必要かつ十分である。
• 対称 $n\times n$ 行列の1つの固有ベクトルを求めるには、$\lfloor\log_2 n\rfloor + 1$ ビットのアドバイスで十分である—具体的には、最小次元固有空間の次元の切り捨て二進対数であり、これが最適である。
• 非一様計算可能性の複雑性は、有効的ボレル階層を介して特徴づけられ、$2\text{--}\Sigma_1$ 集合がアドバイス集合の位相的構造を捉えている。
• 多価関数 $f$ のレベル $\operatorname{Lev}(f)$ は、計算可能性に必要な最小ビット数に対応し、主要問題においてタイトに境界づけられている。
• 本稿では、集合 $\operatorname{LEV}(f,i)$ が連続領域への最小分割を形成することを証明しており、特定の条件下ではこの分割は置換を除いて一意である。